ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 546 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Из пункта A в пункт B выехал автобус, и одновременно с ним из В в А выехал автомобиль. Они встретились в пункте С, причём расстояние, пройденное автомобилем до места встречи,оказалось на 50 км больше пройденного автобусом. Автобус прибыл в конечный пункт через 3 ч после встречи, а автомобиль — через 1 ч 20 мин. На каком расстоянии от пункта А произошла встреча? За какое время автомобиль прошёл всё расстояние?

1) Пусть $x$ км — расстояние от пункта $A$ до пункта $C$, тогда:

$x + 50$ км — расстояние от пункта $C$ до пункта $B$;

$\frac{x + 50}{3}$ км/ч — скорость автобуса;

$\frac{x}{1 \text{ ч } 20 \text{ м}} = x : \frac{4}{3} = \frac{3x}{4}$ км/ч — скорость автомобиля;

2) Время, через которое встретились автомобиль и автобус:

$x : \frac{x + 50}{3} = \frac{3x}{x + 50}$ ч — для автобуса;

$(x + 50) : \frac{3x}{4} = \frac{4(x + 50)}{3x}$ ч — для автомобиля;

3) Составим и решим уравнение:

$\frac{3x}{x + 50} = \frac{4(x + 50)}{3x} \quad | \cdot 3x(x + 50);$

$3x \cdot 3x = 4(x + 50)(x + 50);$

$9x^2 = 4(x^2 + 100x + 2500);$

$9x^2 = 4x^2 + 400x + 10000;$

$9x^2 — 4x^2 — 400x — 10000 = 0;$

$5x^2 — 400x — 10000 = 0 \quad | : 5;$

$x^2 — 80x — 2000 = 0;$

$D = 80^2 + 4 \cdot 2000 = 6400 + 8000 = 14400 = 120^2,$ тогда:

$x_1 = \frac{80 — 120}{2} = -20$ и $x_2 = \frac{80 + 120}{2} = 100;$

4) Расстояние не может быть отрицательным:

$x \neq -20,$ значит $x = 100$ (км);

5) Время, затраченное автомобилем на весь путь:

$(x + x + 50) : \frac{3x}{4} = \frac{4(2x + 50)}{3x};$

$\frac{4 \cdot (2 \cdot 100 + 50)}{3 \cdot 100} = \frac{4 \cdot 250}{300} = \frac{1000}{300} = \frac{10}{3} = 3 \frac{1}{3}$ ч $= 3$ ч $20$ мин;

Ответ: $100$ км; $3$ часа $20$ минут.

Пусть $x$ км — расстояние от пункта $A$ до пункта $C$, тогда:

$x + 50$ км — расстояние от пункта $C$ до пункта $B$. Это подразумевает, что второй участок пути, который преодолевает автобус, на 50 км длиннее первого, и его расстояние равно $x + 50$ км.

$\frac{x + 50}{3}$ км/ч — скорость автобуса. Скорость автобуса равна расстоянию, которое он проходит, деленному на время, за которое он его преодолевает. В данном случае автобус проходит расстояние $x + 50$ км за 1 час, следовательно его скорость равна $\frac{x + 50}{3}$ км/ч.

$\frac{x}{1 \text{ ч } 20 \text{ м}} = x : \frac{4}{3} = \frac{3x}{4}$ км/ч — скорость автомобиля. Время, которое автомобиль тратит на преодоление пути, составляет 1 ч 20 мин, что эквивалентно $\frac{4}{3}$ ч. Таким образом, скорость автомобиля, которая вычисляется по формуле $v = \frac{s}{t}$, равна $\frac{x}{\frac{4}{3}} = \frac{3x}{4}$ км/ч.

Время, через которое встретились автомобиль и автобус:

Для автобуса время, которое он тратит на встречу, равняется $\frac{x}{\frac{x + 50}{3}} = \frac{3x}{x + 50}$ ч. Это выражение отражает время, которое автобус тратит на преодоление пути $x$, двигаясь со скоростью $\frac{x + 50}{3}$.

Для автомобиля время, которое он тратит на встречу, вычисляется как $\frac{x + 50}{\frac{3x}{4}} = \frac{4(x + 50)}{3x}$ ч. Это выражение представляет собой время, которое автомобиль тратит на преодоление пути $x + 50$, двигаясь со скоростью $\frac{3x}{4}$.

Составим и решим уравнение:

Уравнение для времени встречи:

$$\frac{3x}{x + 50} = \frac{4(x + 50)}{3x}$$

Теперь умножим обе части уравнения на $3x(x + 50)$, чтобы избавиться от дробей:

$$3x \cdot 3x = 4(x + 50)(x + 50)$$

Упрощаем:

$$9x^2 = 4(x^2 + 100x + 2500)$$

Далее раскрываем скобки:

$$9x^2 = 4x^2 + 400x + 10000$$

Переносим все члены в одну сторону:

$$9x^2 — 4x^2 — 400x — 10000 = 0$$

Упрощаем:

$$5x^2 — 400x — 10000 = 0$$

Делим обе части на 5:

$$x^2 — 80x — 2000 = 0$$

Рассчитаем дискриминант для решения уравнения $x^2 — 80x — 2000 = 0$:

Дискриминант для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac$$

Подставляем значения $a = 1$, $b = -80$, и $c = -2000$:

$$D = (-80)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2000) = 6400 + 8000 = 14400 = 120^2$$

Извлекаем квадратный корень:

$$\sqrt{14400} = 120$$

Находим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-80) — 120}{2} = \frac{80 — 120}{2} = \frac{-40}{2} = -20$$ $$x_2 = \frac{-(-80) + 120}{2} = \frac{80 + 120}{2} = \frac{200}{2} = 100$$

Расстояние не может быть отрицательным, поэтому $x_1 = -20$ отклоняется. Оставляем положительное значение:

$$x = 100 \, \text{км}$$

Время, затраченное автомобилем на весь путь:

Сначала вычисляем общее расстояние: $2x + 50 = 2 \cdot 100 + 50 = 250$ км.

Время, затраченное на этот путь автомобилем, равно:

$$\frac{250}{\frac{3x}{4}} = \frac{4(250)}{3x} = \frac{1000}{300} = \frac{10}{3} = 3 \frac{1}{3} \, \text{ч} = 3 \, \text{ч} \, 20 \, \text{мин}.$$

Ответ: $100$ км; $3$ часа $20$ минут.