ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 545 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Два велосипедиста одновременно выехали из посёлка в город, расстояние до которого 30 км. Скорость одного велосипедиста была на 6 км/ч больше скорости другого, и на каждые 800 м он затрачивал на 1 мин 20 с меньше, чем второй велосипедист. Сколько времени затратил на путь из посёлка в город велосипедист, который ехал с большей скоростью?

1) Пусть $x$ км/ч — скорость первого велосипедиста, тогда:

$x + 6$ км/ч — скорость второго велосипедиста;

$\frac{30}{x}$ ч — время, затраченное на весь путь первым велосипедистом;

$\frac{30}{x + 6}$ ч — время, затраченное на весь путь вторым велосипедистом;

2) Время, на которое отставал первый велосипедист каждые $800$ м:

$1$ мин $20$ с $= \frac{1}{60} + \frac{1}{60} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{60} + \frac{1}{180} = \frac{3 + 1}{180} = \frac{4}{180} = \frac{1}{45}$ (ч);

3) Время, на которое отставал первый велосипедист на всем пути:

$\frac{30000}{800} \cdot \frac{1}{45} = \frac{75}{2 \cdot 45} = \frac{5}{2 \cdot 3} = \frac{5}{6}$ (ч);

4) Составим и решим уравнение:

$\frac{30}{x} = \frac{30}{x + 6} + \frac{5}{6} \quad | \cdot 6x(x + 6);$

$30 \cdot 6(x + 6) = 30 \cdot 6x + 5x(x + 6);$

$180x + 1080 = 180x + 5x^2 + 30x;$

$5x^2 + 180x — 180x + 30x — 1080 = 0;$

$5x^2 + 30x — 1080 = 0 \quad | : 5;$

$x^2 + 6x — 216 = 0;$

$D = 6^2 + 4 \cdot 216 = 36 + 864 = 900 = 30^2,$ тогда:

$x_1 = \frac{-6 — 30}{2} = -18$ и $x_2 = \frac{-6 + 30}{2} = 12;$

5) Скорость не может быть отрицательной:

$x \neq -18,$ значит $x = 12$ (км/ч);

6) Время, затраченное на весь путь вторым велосипедистом:

$\frac{30}{12 + 6} = \frac{30}{18} = \frac{10}{6} = 1 \frac{4}{6} = 1$ ч $40$ мин;

Ответ: $1$ час $40$ минут.

Пусть $x$ км/ч — скорость первого велосипедиста, тогда:

$x + 6$ км/ч — скорость второго велосипедиста. Это означает, что второй велосипедист едет на 6 км/ч быстрее первого.

$\frac{30}{x}$ ч — время, затраченное на весь путь первым велосипедистом. Время пути первого велосипедиста вычисляется по формуле $t = \frac{s}{v}$, где $s = 30$ км — это расстояние, которое преодолевает первый велосипедист, а $v = x$ км/ч — его скорость.

$\frac{30}{x + 6}$ ч — время, затраченное на весь путь вторым велосипедистом. Аналогично, время пути второго велосипедиста вычисляется по формуле $t = \frac{s}{v}$, где $s = 30$ км — это расстояние, которое преодолевает второй велосипедист, а $v = x + 6$ км/ч — его скорость.

Время, на которое отставал первый велосипедист каждые $800$ м:

Время отставания каждого велосипедиста можно рассчитать, зная, что каждый отставал на 800 м. Для этого мы разделим 1 минуту и 20 секунд на общее количество времени. Переводим 1 мин 20 с в часы:

$$1 \, \text{мин} 20 \, \text{с} = \frac{1}{60} + \frac{1}{60} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{60} + \frac{1}{180} = \frac{3 + 1}{180} = \frac{4}{180} = \frac{1}{45} \, \text{ч}.$$

Время, на которое отставал первый велосипедист на всем пути:

Для вычисления времени отставания первого велосипедиста на всем пути, разделим общий путь $30000$ м на длину пути $800$ м и умножим на время отставания:

$$\frac{30000}{800} \cdot \frac{1}{45} = \frac{75}{2 \cdot 45} = \frac{5}{2 \cdot 3} = \frac{5}{6} \, \text{ч}.$$

Составим и решим уравнение:

Уравнение для расчета времени отставания:

$$\frac{30}{x} = \frac{30}{x + 6} + \frac{5}{6} \quad | \cdot 6x(x + 6);$$

Умножаем обе части на $6x(x + 6)$, чтобы избавиться от дробей:

$$30 \cdot 6(x + 6) = 30 \cdot 6x + 5x(x + 6);$$

Раскрываем скобки и упрощаем:

$$180x + 1080 = 180x + 5x^2 + 30x;$$

Переносим все элементы на одну сторону уравнения:

$$180x + 1080 — 180x — 5x^2 — 30x = 0;$$ $$5x^2 + 180x — 180x + 30x — 1080 = 0;$$

Упрощаем:

$$5x^2 + 30x — 1080 = 0 \quad | : 5;$$

Разделим обе части на 5:

$$x^2 + 6x — 216 = 0;$$

Рассчитаем дискриминант для решения квадратного уравнения $x^2 + 6x — 216 = 0$:

Дискриминант для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 1$, $b = 6$, и $c = -216$. Подставляем значения:

$$D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-216) = 36 + 864 = 900 = 30^2,$$

Теперь находим корни уравнения с использованием формулы для корней квадратного уравнения:

$$x_1=\frac{-6-\sqrt{900}}{2}=\frac{-6-30}{2}=\frac{-36}{2}=-18$$

$$x_1 = \frac{-6 — \sqrt{900}}{2} = \frac{-6 — 30}{2} = \frac{-36}{2} = -18$$ $$x_2 = \frac{-6 + \sqrt{900}}{2} = \frac{-6 + 30}{2} = \frac{24}{2} = 12.$$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому отклоняем значение $x_1 = -18$. Оставляем положительное значение:

$$x = 12 \quad \text{(км/ч)}.$$

Время, затраченное на весь путь вторым велосипедистом:

• Для вычисления времени второго велосипедиста используем его скорость $x + 6 = 12 + 6 = 18$ км/ч:

$$\frac{30}{12 + 6} = \frac{30}{18} = \frac{10}{6} = 1 \frac{4}{6} = 1 \, \text{ч} \, 40 \, \text{мин}.$$

Ответ: $1$ час $40$ минут.