ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 544 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Из города А в город В, расстояние между которыми 60 км, одновременно выехали два велосипедиста. Скорость одного из них на 4 км/ч меньше скорости другого, поэтому в город В он приехал на 1 ч 15 мин позже другого велосипедиста. Сколько времени затратил на первые 12 км пути велосипедист, который ехал с меньшей скоростью?

1) Пусть $x$ км/ч — скорость первого велосипедиста, тогда:

$x + 4$ км/ч — скорость второго велосипедиста;

$\frac{60}{x}$ ч — время, затраченное на путь первым велосипедистом;

$\frac{60}{x + 4}$ ч — время, затраченное на путь вторым велосипедистом;

2) Составим и решим уравнение, учитывая, что $1$ ч $15$ мин $= \frac{5}{4}$ ч:

$\frac{60}{x} = \frac{60}{x + 4} + \frac{5}{4} \quad | \cdot 4x(x + 4);$

$60 \cdot 4(x + 4) = 60 \cdot 4x + 5x(x + 4);$

$240x + 960 = 240x + 5x^2 + 20x;$

$5x^2 + 240x — 240x + 20x — 960 = 0;$

$5x^2 + 20x — 960 = 0 \quad | : 5;$

$x^2 + 4x — 192 = 0;$

$D = 4^2 + 4 \cdot 192 = 16 + 768 = 784 = 28^2,$ тогда:

$x_1 = \frac{-4 — 28}{2} = -16$ и $x_2 = \frac{-4 + 28}{2} = 12;$

3) Скорость не может быть отрицательной:

$x \neq -16,$ значит $x = 12$ (км/ч);

4) Время, затраченное на первые $12$ км пути первым велосипедистом:

$\frac{12}{x} = \frac{12}{12} = 1$ (ч);

Ответ: $1$ час.

Пусть $x$ км/ч — скорость первого велосипедиста, тогда:

$x + 4$ км/ч — скорость второго велосипедиста. Это означает, что второй велосипедист едет на 4 км/ч быстрее первого велосипедиста.

$\frac{60}{x}$ ч — время, затраченное на путь первым велосипедистом. Время на преодоление расстояния вычисляется по формуле $t = \frac{s}{v}$, где $s = 60$ км — это расстояние, которое проходит первый велосипедист, а $v = x$ км/ч — это скорость первого велосипедиста.

$\frac{60}{x + 4}$ ч — время, затраченное на путь вторым велосипедистом. Таким образом, для второго велосипедиста время пути равно $t = \frac{s}{v} = \frac{60}{x + 4}$, где $s = 60$ км — это расстояние, которое проходит второй велосипедист, а $v = x + 4$ км/ч — его скорость.

Составим и решим уравнение, учитывая, что $1$ ч $15$ мин $= \frac{5}{4}$ ч:

Поскольку время, затраченное первым велосипедистом, на 1 час 15 минут больше времени второго велосипедиста, составим уравнение:

$$\frac{60}{x} = \frac{60}{x + 4} + \frac{5}{4}$$

где $\frac{60}{x}$ — время, затраченное первым велосипедистом, $\frac{60}{x + 4}$ — время, затраченное вторым велосипедистом, а $\frac{5}{4}$ — это разница во времени, равная 1 час 15 минут.

Для того чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на $4x(x + 4)$:

$$4x(x + 4) \cdot \frac{60}{x} = 4x(x + 4) \cdot \left( \frac{60}{x + 4} + \frac{5}{4} \right)$$

Преобразуем каждую из частей уравнения:

$$60 \cdot 4(x + 4) = 60 \cdot 4x + 5x(x + 4)$$

Умножим скобки и упростим:

$$240x + 960 = 240x + 5x^2 + 20x$$

Затем перенесем все элементы на одну сторону уравнения:

$$240x + 960 — 240x — 5x^2 — 20x = 0$$ $$5x^2 + 240x — 240x + 20x — 960 = 0$$

Теперь у нас получается уравнение:

$$5x^2 + 20x — 960 = 0$$

Теперь разделим обе стороны на 5, чтобы упростить уравнение:

$$x^2 + 4x — 192 = 0$$

Решим квадратное уравнение $x^2 + 4x — 192 = 0$ с помощью дискриминанта. Дискриминант для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 1$, $b = 4$, и $c = -192$. Подставляем эти значения:

$$D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-192) = 16 + 768 = 784$$

Теперь извлекаем квадратный корень из дискриминанта:

$$\sqrt{784} = 28$$

Значит, дискриминант равен $784 = 28^2$.

Теперь находим корни уравнения с использованием формулы для корней квадратного уравнения:

$$x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-4-28}{2}=\frac{-32}{2}=-16$$

$$x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 — 28}{2} = \frac{-32}{2} = -16$$ $$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 28}{2} = \frac{24}{2} = 12$$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому $x_1 = -16$ отклоняется. Оставляем только положительное значение:

$$x = 12 \quad \text{(км/ч)}.$$

Теперь вычислим время, которое первый велосипедист потратит на первые 12 км пути. Для этого применим формулу $t = \frac{s}{v}$, где $s = 12$ км — это расстояние, которое первый велосипедист должен проехать, а $v = x = 12$ км/ч — его скорость. Таким образом, время будет равно:

$$t = \frac{12}{12} = 1 \quad \text{(ч)}$$

Ответ: $1$ час.