ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 543 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Два велосипедиста отправились одновременно из города в посёлок. Скорость первого велосипедиста была на 2 км/ч больше, чем скорость второго велосипедиста. Поэтому он приехал в посёлок на 15 мин раньше второго велосипедиста. Найдите скорость второго велосипедиста, если расстояние от города до посёлка 36 км.

1) Пусть $x$ км/ч — скорость второго велосипедиста, тогда:

$x + 2$ км/ч — скорость первого велосипедиста;

$\frac{36}{x}$ ч — время, затраченное на путь вторым велосипедистом;

$\frac{36}{x + 2}$ ч — время, затраченное на путь первым велосипедистом;

2) Составим и решим уравнение, учитывая, что $15$ мин $= \frac{1}{4}$ ч:

$$\frac{36}{x}=\frac{36}{x+2}+\frac{1}{4}\mathrm{\mid }\cdot 4x(x+2);$$

$$\frac{36}{x} = \frac{36}{x + 2} + \frac{1}{4} \quad | \cdot 4x(x + 2);$$ $$36\cdot 4(x+2)=36\cdot 4x+x(x+2);$$

$$36 \cdot 4(x + 2) = 36 \cdot 4x + x(x + 2);$$ $$144x+288=144x+x^2+2x;$$

$$144x + 288 = 144x + x^2 + 2x;$$ $$x^2+144x-144x+2x-288=0;$$

$$x^2 + 144x — 144x + 2x — 288 = 0;$$ $$x^2+2x-288=0;$$

$$x^2 + 2x — 288 = 0;$$ $$D=2^2+4\cdot 288=4+1152=1156={34}^2,\text{тогда:}$$

$$D = 2^2 + 4 \cdot 288 = 4 + 1152 = 1156 = 34^2, \quad \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-2 — 34}{2} = -18 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-2 + 34}{2} = 16;$$

3) Скорость не может быть отрицательной:

$$x \neq -18, \quad \text{значит} \quad x = 16 \, (\text{км/ч});$$

Ответ: $16$ км/ч.

Пусть $x$ км/ч — скорость второго велосипедиста, тогда:

$x + 2$ км/ч — скорость первого велосипедиста, так как первый велосипедист движется на 2 км/ч быстрее второго.

$\frac{36}{x}$ ч — время, затраченное на путь вторым велосипедистом. Время пути второго велосипедиста вычисляется по формуле $t = \frac{s}{v}$, где $s = 36$ км — пройденное расстояние, а $v = x$ км/ч — скорость второго велосипедиста.

$\frac{36}{x + 2}$ ч — время, затраченное на путь первым велосипедистом. Аналогично, время первого велосипедиста вычисляется по формуле $t = \frac{s}{v}$, где $s = 36$ км — пройденное расстояние, а $v = x + 2$ км/ч — скорость первого велосипедиста.

Составим и решим уравнение, учитывая, что $15$ мин $= \frac{1}{4}$ ч:

Поскольку время второго велосипедиста на 15 минут больше времени первого, можно записать уравнение:

$$\frac{36}{x} = \frac{36}{x + 2} + \frac{1}{4}$$

где левая часть уравнения — это время, затраченное вторым велосипедистом, а правая часть — это время, затраченное первым велосипедистом плюс 15 минут.

Умножим обе части уравнения на $4x(x + 2)$, чтобы избавиться от дробей:

$$4x(x + 2) \cdot \frac{36}{x} = 4x(x + 2) \cdot \left( \frac{36}{x + 2} + \frac{1}{4} \right)$$

Преобразуем это выражение:

$$36 \cdot 4(x + 2) = 36 \cdot 4x + x(x + 2)$$

Теперь у нас есть выражения для каждой из частей уравнения.

Раскроем скобки и упростим:

$$144x + 288 = 144x + x^2 + 2x$$

Отметим, что $144x$ на обеих сторонах уравнения сокращаются:

$$288 = x^2 + 2x$$

Теперь перенесем все члены в одну сторону:

$$x^2 + 2x — 288 = 0$$

Это квадратное уравнение, которое нужно решить.

Рассчитаем дискриминант $D$ для решения квадратного уравнения $x^2 + 2x — 288 = 0$:

Дискриминант для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 1$, $b = 2$, и $c = -288$. Подставим эти значения:

$$D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-288) = 4 + 1152 = 1156$$

Теперь вычислим корни уравнения с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения $b = 2$, $D = 1156$, и $a = 1$:

$$x_1=\frac{-2-\sqrt{1156}}{2}=\frac{-2-34}{2}=\frac{-36}{2}=-18$$

$$x_1 = \frac{-2 — \sqrt{1156}}{2} = \frac{-2 — 34}{2} = \frac{-36}{2} = -18$$ $$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{1156}}{2} = \frac{-2 + 34}{2} = \frac{32}{2} = 16$$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому отрицательное значение $x_1 = -18$ отклоняется. Оставляем только положительное значение:

$$x = 16 \quad \text{(км/ч)}.$$

Ответ: $16$ км/ч.