ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 541 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) $2(x^2+\frac{1}{x^2})-3(x+\frac{1}{x})+2=0;$

б) $4(x^2+\frac{1}{x^2})-8(x-\frac{1}{x})=5.$

Указание.

а) Используя формулу $a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab$, выразите $x^2+\frac{1}{x^2}$ через $x+\frac{1}{x}$. Далее введите замену: $x+\frac{1}{x}=y$.

б) Выразите $x^2+\frac{1}{x^2}$ через $x-\frac{1}{x}$.

а) $2\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) — 3\left(x + \frac{1}{x}\right) + 2 = 0$;

$2\left(\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 — 2x \cdot \frac{1}{x}\right) — 3\left(x + \frac{1}{x}\right) + 2 = 0$;

1) Пусть $y = x + \frac{1}{x}$, тогда:

$2(y^2 — 2) — 3y + 2 = 0$;

$2y^2 — 4 — 3y + 2 = 0$;

$2y^2 — 3y — 2 = 0$;

$D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 + 16 = 25$, тогда:

$y_1 = \frac{3 — 5}{2 \cdot 2} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$ и $y_2 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$;

2) Первое значение:

$x + \frac{1}{x} = -\frac{1}{2} \quad | \cdot 2x$;

$2x^2 + 2 = -x$;

$2x^2 + x + 2 = 0$;

$D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 1 — 16 = -15$;

$D < 0$, значит корней нет;

3) Второе значение:

$x + \frac{1}{x} = 2 \quad | \cdot x$;

$x^2 + 1 = 2x$;

$x^2 — 2x + 1 = 0$;

$(x — 1)^2 = 0$;

$x — 1 = 0$, отсюда $x = 1$;

Ответ: 1.

б) $4\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) — 8\left(x — \frac{1}{x}\right) = 5$;

$4\left(\left(x — \frac{1}{x}\right)^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x}\right) — 8\left(x — \frac{1}{x}\right) — 5 = 0$;

1) Пусть $y = x — \frac{1}{x}$, тогда:

$4(y^2 + 2) — 8y — 5 = 0$;

$4y^2 + 8 — 8y — 5 = 0$;

$4y^2 — 8y + 3 = 0$;

$D = 8^2 — 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 — 48 = 16$, тогда:

$y_1 = \frac{8 — 4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ и $y_2 = \frac{8 + 4}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$;

2) Первое значение:

$x — \frac{1}{x} = \frac{1}{2} \quad | \cdot 2x$;

$2x^2 — 2 = x$;

$2x^2 — x — 2 = 0$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 1 + 16 = 17$, тогда:

$x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{4}$;

3) Второе значение:

$x — \frac{1}{x} = \frac{3}{2} \quad | \cdot 2x$;

$2x^2 — 2 = 3x$;

$2x^2 — 3x — 2 = 0$;

$D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 + 16 = 25$, тогда:

$x_1 = \frac{3 — 5}{2 \cdot 2} = -\frac{2}{4} = -0.5$ и $x_2 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$;

Ответ: $-0.5; 2; \frac{1 \pm \sqrt{17}}{4}$.

а) $2\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) — 3\left(x + \frac{1}{x}\right) + 2 = 0$.

Сначала перепишем выражение через тождество: $x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 — 2x \cdot \frac{1}{x} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 — 2$. Подставляем:

$2\left(\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 — 2\right) — 3\left(x + \frac{1}{x}\right) + 2 = 0$.

Пусть $y = x + \frac{1}{x}$. Тогда уравнение примет вид:

$2(y^2 — 2) — 3y + 2 = 0$.

Раскроем скобки:

$2y^2 — 4 — 3y + 2 = 0$.

Приведём подобные члены:

$2y^2 — 3y — 2 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $y$.

Вычисляем дискриминант: $D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

Корни: $y_1 = \frac{3 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$, $y_2 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$.

Для первого значения $y = -\frac{1}{2}$:

$x + \frac{1}{x} = -\frac{1}{2}$. Умножаем на $2x$:

$2x^2 + 2 = -x$.

Переносим: $2x^2 + x + 2 = 0$.

Вычисляем дискриминант: $D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 1 — 16 = -15$. Так как $D < 0$, решений нет.

Для второго значения $y = 2$:

$x + \frac{1}{x} = 2$. Умножаем на $x$:

$x^2 + 1 = 2x$.

Переносим: $x^2 — 2x + 1 = 0$.

Это полный квадрат: $(x — 1)^2 = 0$.

Отсюда $x = 1$.

Окончательный ответ: $1$.

б) $4\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) — 8\left(x — \frac{1}{x}\right) = 5$.

Используем тождество: $x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x — \frac{1}{x}\right)^2 + 2$. Подставляем:

$4\left(\left(x — \frac{1}{x}\right)^2 + 2\right) — 8\left(x — \frac{1}{x}\right) — 5 = 0$.

Пусть $y = x — \frac{1}{x}$. Тогда уравнение примет вид:

$4(y^2 + 2) — 8y — 5 = 0$.

Раскроем скобки:

$4y^2 + 8 — 8y — 5 = 0$.

Приведём подобные члены:

$4y^2 — 8y + 3 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $y$.

Вычисляем дискриминант: $D = (-8)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 — 48 = 16$.

Корни: $y_1 = \frac{8 — 4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$, $y_2 = \frac{8 + 4}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$.

Для первого значения $y = \frac{1}{2}$:

$x — \frac{1}{x} = \frac{1}{2}$. Умножаем на $2x$:

$2x^2 — 2 = x$.

Переносим: $2x^2 — x — 2 = 0$.

Вычисляем дискриминант: $D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 1 + 16 = 17$.

Корни: $x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{4}$.

Для второго значения $y = \frac{3}{2}$:

$x — \frac{1}{x} = \frac{3}{2}$. Умножаем на $2x$:

$2x^2 — 2 = 3x$.

Переносим: $2x^2 — 3x — 2 = 0$.

Вычисляем дискриминант: $D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

Корни: $x_1 = \frac{3 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0.5$, $x_2 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$.

Окончательный ответ: $-0.5; 2; \frac{1 \pm \sqrt{17}}{4}$.