ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 540 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) $1 + \frac{x — 4}{x — 3} = \frac{x}{x + 4} + \frac{7x}{x^2 + x — 12};$

б) $1 — \frac{2}{x + 1} = \frac{5}{x^2 — 2x — 3} — \frac{4}{x — 3};$

в) $\frac{2}{x + 2} — \frac{6}{x^2 — 2x + 4} = \frac{24}{x^3 + 8};$

г) $\frac{3x}{x^3 — 1} — \frac{3}{x^2 + x + 1} = \frac{1}{x — 1}.$$\frac{27}{x^2 + 3x} — \frac{2}{x} = \frac{3}{x^2 — 3x}.$

а) $\frac{1}{2 — x} — 1 = \frac{1}{x — 2} — \frac{6 — x}{3x^2 — 12};$

Разложим на множители:

$x^2 + x — 12 = x^2 — 3x + 4x — 12 = x(x — 3) + 4(x — 3) = (x + 4)(x — 3);$

Получим уравнение:

$1 + \frac{x — 4}{x — 3} — \frac{x}{x + 4} — \frac{7x}{(x + 4)(x — 3)} = 0 \quad | \cdot (x + 4)(x — 3);$

$(x + 4)(x — 3) + (x + 4)(x — 4) — x(x — 3) — 7x = 0;$

$x^2 — 3x + 4x — 12 + x^2 — 4x + 16 — x^2 + 3x — 7x = 0;$

$x^2 — 3x — 28 = 0;$

$D = 3^2 + 4 \cdot 28 = 9 + 112 = 121 = 11^2,$ тогда:

$x_1 = \frac{3 — 11}{2} = -4$ и $x_2 = \frac{3 + 11}{2} = 7;$

Выражение имеет смысл при:

$x — 3 \neq 0,$ отсюда $x \neq 3;$

$x + 4 \neq 0,$ отсюда $x \neq -4;$

Ответ: $7.$

б) $\frac{1}{x — 3} — \frac{x + 8}{2x^2 — 18} = \frac{1}{3 — x} — 1;$

Разложим на множители:

$x^2 — 2x — 3 = x^2 + x — 3x — 3 = x(x + 1) — 3(x + 1) = (x — 3)(x + 1);$

Получим уравнение:

$1 — \frac{2}{x + 1} — \frac{5}{(x — 3)(x + 1)} + \frac{4}{x — 3} = 0 \quad | \cdot (x — 3)(x + 1);$

$(x — 3)(x + 1) — 2(x — 3) — 5 + 4(x + 1) = 0;$

$x^2 + x — 3x — 3 — 2x + 6 — 5 + 4x + 4 = 0;$

$x^2 + 2 = 0;$

$x^2 = -2 \quad \text{— корней нет;}$

Ответ: решений нет.

в) $\frac{2}{x + 2} — \frac{6}{x^2 — 2x + 4} = \frac{24}{x^3 + 8};$

$\frac{2}{x + 2} — \frac{6}{x^2 — 2x + 4} — \frac{24}{(x + 2)(x^2 — 2x + 4)} = 0 \quad | \cdot (x + 2)(x^2 — 2x + 4);$

$2(x^2 — 2x + 4) — 6(x + 2) — 24 = 0;$

$2x^2 — 4x + 8 — 6x — 12 — 24 = 0;$

$2x^2 — 10x — 28 = 0 \quad | : 2;$

$x^2 — 5x — 14 = 0;$

$D = 5^2 + 4 \cdot 14 = 25 + 56 = 81,$ тогда:

$x_1 = \frac{5 — 9}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{5 + 9}{2} = 7;$

Выражение имеет смысл при:

$x + 2 \neq 0,$ отсюда $x \neq -2;$

$x^2 — 2x + 4 \neq 0;$

$D = 2^2 — 4 \cdot 4 = 4 — 16 = -12;$

$D < 0,$ значит корней нет;

Ответ: $7.$

г) $\frac{3x}{x^3 — 1} — \frac{3}{x^2 + x + 1} = \frac{1}{x — 1};$

$\frac{3x}{(x — 1)(x^2 + x + 1)} — \frac{3}{x^2 + x + 1} — \frac{1}{x — 1} = 0 \quad | \cdot (x — 1)(x^2 + x + 1);$

$3x — 3(x — 1) — (x^2 + x + 1) = 0;$

$3x — 3x + 3 — x^2 — x — 1 = 0;$

$-x^2 — x + 2 = 0 \quad | \cdot (-1);$

$x^2 + x — 2 = 0;$

$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9,$ тогда:

$x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;$

Выражение имеет смысл при:

$x — 1 \neq 0,$ отсюда $x \neq 1;$

$x^2 + x + 1 \neq 0;$

$D = 1^2 — 4 \cdot 1 = 1 — 4 = -3;$

$D < 0,$ значит корней нет;

Ответ: $-2.$

а) $\frac{1}{2 — x} — 1 = \frac{1}{x — 2} — \frac{6 — x}{3x^2 — 12};$

1. Разлагаем $3x^2 — 12$ как разность квадратов:

$$3x^2 — 12 = 3(x^2 — 4) = 3(x — 2)(x + 2)$$

Теперь уравнение выглядит так:

$$\frac{1}{2 — x} — 1 = \frac{1}{x — 2} — \frac{6 — x}{3(x — 2)(x + 2)}$$

2. Преобразуем выражение. Перепишем левую часть уравнения:

$$\frac{1}{2 — x} = -\frac{1}{x — 2}$$

Таким образом, уравнение будет:

$$-\frac{1}{x — 2} — 1 = \frac{1}{x — 2} — \frac{6 — x}{3(x — 2)(x + 2)}$$

3. Умножим обе стороны на $3(x — 2)(x + 2)$, чтобы избавиться от знаменателей:

$$3(x — 2)(x + 2) \left( -\frac{1}{x — 2} — 1 \right) = 3(x — 2)(x + 2) \left( \frac{1}{x — 2} — \frac{6 — x}{3(x — 2)(x + 2)} \right)$$

4. После умножения на общие множители:

$$-3(x + 2) — 3(x — 2)(x + 2) = -(6 — x)$$

5. Раскроем скобки:

$$-3(x+2)=-3x-6$$

$$-3(x + 2) = -3x — 6$$ $$-3(x-2)(x+2)=-3(x^2-4)=-3x^2+12$$

$$-3(x — 2)(x + 2) = -3(x^2 — 4) = -3x^2 + 12$$ $$-(6 — x) = -6 + x$$

Подставим это в уравнение:

$$-3x — 6 — 3x^2 + 12 = -6 + x$$

6. Упростим уравнение:

$$-3x — 3x^2 + 6 = -6 + x$$

7. Переносим все на одну сторону:

$$-3x-3x^2+6+6-x=0$$

$$-3x — 3x^2 + 6 + 6 — x = 0$$ $$-3x^2 — 4x + 12 = 0$$

Умножим на $-1$:

$$3x^2 + 4x — 12 = 0$$

8. Решаем квадратное уравнение $3x^2 + 4x — 12 = 0$ с помощью дискриминанта:

$$D = 4^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 16 + 144 = 160$$

Корни уравнения:

$$x_1=\frac{-4-\sqrt{160}}{2\cdot 3}=\frac{-4-4\sqrt{10}}{6}$$

$$x_1 = \frac{-4 — \sqrt{160}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 — 4\sqrt{10}}{6}$$ $$x_2 = \frac{-4 + \sqrt{160}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 + 4\sqrt{10}}{6}$$

9. Проверяем при каких значениях выражение имеет смысл:

• $x — 2 \neq 0$, отсюда $x \neq 2$,
• $x + 2 \neq 0$, отсюда $x \neq -2$.

Ответ: $\frac{-4 — 4\sqrt{10}}{6}, \frac{-4 + 4\sqrt{10}}{6}$.

б) $\frac{1}{x — 3} — \frac{x + 8}{2x^2 — 18} = \frac{1}{3 — x} — 1;$

1. Разлагаем $2x^2 — 18$ как разность квадратов:

$$2x^2 — 18 = 2(x^2 — 9) = 2(x — 3)(x + 3)$$

Теперь уравнение:

$$\frac{1}{x — 3} — \frac{x + 8}{2(x — 3)(x + 3)} = \frac{1}{3 — x} — 1$$

2. Умножим обе части на $2(x — 3)(x + 3)$:

$$2(x — 3)(x + 3) \left( \frac{1}{x — 3} — \frac{x + 8}{2(x — 3)(x + 3)} \right) = 2(x — 3)(x + 3) \left( \frac{1}{3 — x} — 1 \right)$$

3. Преобразуем обе части уравнения:

$$2(x + 3) — (x + 8) = -2(x + 3)$$

4. Раскроем скобки:

$$2(x + 3) = 2x + 6$$ $$-(x + 8) = -x — 8$$ $$-2(x + 3) = -2x — 6$$

Подставим:

$$2x + 6 — x — 8 = -2x — 6$$

5. Упростим:

$$x — 2 = -2x — 6$$

6. Переносим все на одну сторону:

$$x + 2x = -6 + 2$$ $$3x = -4$$

7. Решаем уравнение:

$$x = \frac{-4}{3}$$

8. Проверяем при каких значениях выражение имеет смысл:

• $x \neq 3$,
• $x \neq -3$.

Ответ: $\frac{-4}{3}$.

в) $\frac{2}{x + 2} — \frac{6}{x^2 — 2x + 4} = \frac{24}{x^3 + 8};$

1. Разлагаем знаменатель $x^3 + 8$ как сумму кубов:

$$x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 — 2x + 4)$$

Теперь уравнение:

$$\frac{2}{x + 2} — \frac{6}{x^2 — 2x + 4} — \frac{24}{(x + 2)(x^2 — 2x + 4)} = 0$$

2. Умножим обе стороны на $(x + 2)(x^2 — 2x + 4)$:

$$(x + 2)(x^2 — 2x + 4) \left( \frac{2}{x + 2} — \frac{6}{x^2 — 2x + 4} — \frac{24}{(x + 2)(x^2 — 2x + 4)} \right) = 0$$

3. Преобразуем выражения:

$$2(x^2 — 2x + 4) — 6(x + 2) — 24 = 0$$

4. Раскроем скобки:

$$2(x^2 — 2x + 4) = 2x^2 — 4x + 8$$ $$-6(x + 2) = -6x — 12$$

Подставим:

$$2x^2 — 4x + 8 — 6x — 12 — 24 = 0$$

5. Упростим:

$$2x^2 — 10x — 28 = 0 \quad | : 2$$ $$x^2 — 5x — 14 = 0$$

6. Решаем квадратное уравнение:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$$

Корни:

$$x_1=\frac{-(-5)-\sqrt{81}}{2\cdot 1}=\frac{5-9}{2}=-2$$

$$x_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 — 9}{2} = -2$$ $$x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 9}{2} = 7$$

7. Проверяем при каких значениях выражение имеет смысл:

$x \neq -2$,

$x^2 — 2x + 4 \neq 0$, где дискриминант $D = (-2)^2 — 4 \cdot 4 = 4 — 16 = -12$, значит корней нет.

Ответ: $7$.

г) $\frac{3x}{x^3 — 1} — \frac{3}{x^2 + x + 1} = \frac{1}{x — 1};$

1. Разлагаем $x^3 — 1$ как разность кубов:

$$x^3 — 1 = (x — 1)(x^2 + x + 1)$$

Теперь уравнение:

$$\frac{3x}{(x — 1)(x^2 + x + 1)} — \frac{3}{x^2 + x + 1} — \frac{1}{x — 1} = 0$$

2. Умножим обе стороны на $(x — 1)(x^2 + x + 1)$:

$$(x — 1)(x^2 + x + 1) \left( \frac{3x}{(x — 1)(x^2 + x + 1)} — \frac{3}{x^2 + x + 1} — \frac{1}{x — 1} \right) = 0$$

3. Преобразуем выражения:

$$3x — 3(x — 1) — (x^2 + x + 1) = 0$$

4. Раскроем скобки:

$$3x — 3x + 3 — x^2 — x — 1 = 0$$

5. Упростим:

$$-x^2 — x + 2 = 0 \quad | \cdot (-1)$$ $$x^2 + x — 2 = 0$$

6. Решаем квадратное уравнение:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$

Корни:

$$x_1=\frac{-1-3}{2}=-2$$

$$x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2$$ $$x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$$

7. Проверяем при каких значениях выражение имеет смысл:

$x — 1 \neq 0$, отсюда $x \neq 1$,

$x^2 + x + 1 \neq 0$, где дискриминант $D = 1^2 — 4 \cdot 1 = 1 — 4 = -3$, значит корней нет.

Ответ: $-2$.