ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 539 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение (538–542).

а) $\frac{1}{2-x}-1=\frac{1}{x-2}-\frac{6-x}{3x^2-12};$

б) $\frac{1}{x-3}-\frac{x+8}{2x^2-18}=\frac{1}{3-x}-1.$

а) $\frac{1}{2-x}-1=\frac{1}{x-2}-\frac{6-x}{3x^2-12};$

$-\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-2}-1=-\frac{6-x}{3(x^2-4)};$

$-\frac{2}{x-2}-1=-\frac{6-x}{3(x-2)(x+2)}\mathrm{\mid }\cdot 3(x-2)(x+2);$

$-2\cdot 3(x+2)-3(x-2)(x+2)=-(6-x);$

$-6x-12-3(x^2-4)=-6+x;$

$-6x-12-3x^2+12=0;$

$-3x^2-7x+6=0\mathrm{\mid }\cdot (-1);$

$3x^2+7x-6=0;$

$D=7^2+4\cdot 3\cdot 6=49+72=121={11}^2,$ тогда:

$x_1=\frac{-7-11}{2\cdot 3}=\frac{-18}{6}=-3$ и $x_2=\frac{-7+11}{2\cdot 3}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3};$

Выражение имеет смысл при:

$x-2\mathrm{\ne }0,$ отсюда $x\mathrm{\ne }2;$

$x+2\mathrm{\ne }0,$ отсюда $x\mathrm{\ne }-2;$

Ответ: $-3;\frac{2}{3}\mathrm{.}$

б) $\frac{1}{x-3}-\frac{x+8}{2x^2-18}=\frac{1}{3-x}-1;$

$\frac{1}{x-3}-\frac{x+8}{2(x^2-9)}=-\frac{1}{x-3}-1;$

$\frac{2}{x-3}-\frac{x+8}{2(x-3)(x+3)}+1=0\mathrm{\mid }\cdot 2(x-3)(x+3);$

$2\cdot 2(x+3)-(x+8)+2(x-3)(x+3)=0;$

$4x+12-x-8+2(x^2-9)=0;$

$3x+4+2x^2-18=0;$

$2x^2+3x-14=0;$

$D=3^2+4\cdot 2\cdot 14=9+112=121={11}^2,$ тогда:

$x_1=\frac{-3-11}{2\cdot 2}=\frac{-14}{4}=-3.5$ и $x_2=\frac{-3+11}{2\cdot 2}=\frac{8}{4}=2;$

Ответ: $-3.5;2.$

а) Начинаем с уравнения:

$\frac{1}{2-x} — 1 = \frac{1}{x-2} — \frac{6-x}{3x^2-12}$.

Заметим, что $\frac{1}{2-x} = -\frac{1}{x-2}$, так как знаменатели отличаются только знаком. Тогда перепишем:

$-\frac{1}{x-2} — 1 = \frac{1}{x-2} — \frac{6-x}{3(x^2-4)}$.

Переносим дробь $\frac{1}{x-2}$ в левую часть:

$-\frac{1}{x-2} — \frac{1}{x-2} — 1 = -\frac{6-x}{3(x^2-4)}$.

Складываем дроби слева:

$-\frac{2}{x-2} — 1 = -\frac{6-x}{3(x-2)(x+2)}$.

Умножим обе части на общий знаменатель $3(x-2)(x+2)$, при условии, что $x \ne 2$ и $x \ne -2$:

$-2 \cdot 3(x+2) — 3(x-2)(x+2) = -(6-x)$.

Раскроем скобки:

$-6x — 12 — 3(x^2-4) = -6+x$.

Раскроем скобки ещё раз:

$-6x — 12 — 3x^2 + 12 = -6+x$.

Сокращаем $-12$ и $+12$:

$-6x — 3x^2 = -6+x$.

Переносим всё в левую часть:

$-3x^2 — 7x + 6 = 0$.

Умножим обе части на $-1$:

$3x^2 + 7x — 6 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = 7^2 + 4 \cdot 3 \cdot 6 = 49+72=121=11^2$.

Находим корни квадратного уравнения:

$x_1 = \frac{-7-11}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6}=-3$.

$x_2 = \frac{-7+11}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

Проверим область допустимых значений:

$x-2 \ne 0 \Rightarrow x \ne 2$.

$x+2 \ne 0 \Rightarrow x \ne -2$.

Оба найденных корня допустимы.

Ответ: $-3;\ \frac{2}{3}$.

б) Начинаем с уравнения:

$\frac{1}{x-3} — \frac{x+8}{2x^2-18} = \frac{1}{3-x} — 1$.

Заметим, что $\frac{1}{3-x} = -\frac{1}{x-3}$. Тогда перепишем:

$\frac{1}{x-3} — \frac{x+8}{2(x^2-9)} = -\frac{1}{x-3} — 1$.

Переносим $-\frac{1}{x-3}$ в левую часть:

$\frac{1}{x-3} + \frac{1}{x-3} — \frac{x+8}{2(x-3)(x+3)} + 1 = 0$.

Получаем:

$\frac{2}{x-3} — \frac{x+8}{2(x-3)(x+3)} + 1 = 0$.

Умножим обе части на $2(x-3)(x+3)$, при условии, что $x \ne 3$ и $x \ne -3$:

$2 \cdot 2(x+3) — (x+8) + 2(x-3)(x+3) = 0$.

Раскроем скобки:

$4x+12 — x — 8 + 2(x^2-9) = 0$.

Собираем подобные:

$3x+4+2x^2-18=0$.

Приводим:

$2x^2+3x-14=0$.

Находим дискриминант:

$D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 14 = 9+112=121=11^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-3-11}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4}=-3.5$.

$x_2 = \frac{-3+11}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4}=2$.

Проверим область допустимых значений:

$x \ne 3, \ x \ne -3$. Найденные корни этим условиям не противоречат.

Ответ: $-3.5;\ 2$.