ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 538 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение (538–542).

а) $\frac{6}{x^2 — 2x} — \frac{12}{x^2 + 2x} = \frac{1}{x};$

б) $\frac{27}{x^2 + 3x} — \frac{2}{x} = \frac{3}{x^2 — 3x}.$

а) $\frac{6}{x^2 — 2x} — \frac{12}{x^2 + 2x} = \frac{1}{x};$

$\frac{6}{x(x — 2)} — \frac{12}{x(x + 2)} = \frac{1}{x} \quad | \cdot (x — 2)(x + 2);$

$6(x + 2) — 12(x — 2) = (x — 2)(x + 2);$

$6x + 12 — 12x + 24 = x^2 + 2x — 2x — 4;$

$36 — 6x — 36 — 4 = 0;$

$x^2 + 6x — 40 = 0;$

$D = 6^2 + 4 \cdot 40 = 36 + 160 = 196 = 14^2,$ тогда:

$x_1 = \frac{-6 — 14}{2} = -10$ и $x_2 = \frac{-6 + 14}{2} = 4;$

Выражение имеет смысл при:

$x \neq 0;$

$x — 2 \neq 0,$ отсюда $x \neq 2;$

$x + 2 \neq 0,$ отсюда $x \neq -2;$

Ответ: $-10; 4.$

б) $\frac{27}{x^2 + 3x} — \frac{2}{x} = \frac{3}{x^2 — 3x};$

$\frac{27}{x(x + 3)} — \frac{2}{x} = \frac{3}{x(x — 3)} \quad | \cdot (x — 3)(x + 3);$

$27(x — 3) — 2(x — 3)(x + 3) = 3(x + 3);$

$27x — 81 — 2(x^2 — 9) = 3x + 9;$

$27x — 81 — 2x^2 + 18 = 0;$

$-2x^2 + 24x — 72 = 0 \quad | : (-2);$

$x^2 — 12x + 36 = 0;$

$(x — 6)^2 = 0;$

$x — 6 = 0,$ отсюда $x = 6;$

Выражение имеет смысл при:

$x \neq 0;$

$x — 3 \neq 0,$ отсюда $x \neq 3;$

$x + 3 \neq 0,$ отсюда $x \neq -3;$

Ответ: $6.$

а) $\frac{6}{x^2 — 2x} — \frac{12}{x^2 + 2x} = \frac{1}{x};$

1. Разложим знаменатели:

$$x^2 — 2x = x(x — 2)$$ $$x^2 + 2x = x(x + 2)$$

Подставляем это в уравнение:

$$\frac{6}{x(x — 2)} — \frac{12}{x(x + 2)} = \frac{1}{x}$$

2. Умножим обе части уравнения на $x(x — 2)(x + 2)$ для того, чтобы избавиться от знаменателей:

$$6(x + 2) — 12(x — 2) = (x — 2)(x + 2)$$

3. Раскроем скобки на левой и правой части уравнения:

$$6(x + 2) = 6x + 12$$ $$-12(x — 2) = -12x + 24$$ $$(x — 2)(x + 2) = x^2 — 4$$

Подставим в уравнение:

$$6x + 12 — 12x + 24 = x^2 — 4$$

4. Упростим уравнение:

$$6x — 12x + 12 + 24 = x^2 — 4$$ $$-6x + 36 = x^2 — 4$$

5. Переносим все члены на одну сторону:

$$-6x + 36 — x^2 + 4 = 0$$ $$-x^2 — 6x + 40 = 0$$

Умножаем на $-1$:

$$x^2 + 6x — 40 = 0$$

6. Решаем квадратное уравнение $x^2 + 6x — 40 = 0$ с помощью дискриминанта. Находим дискриминант:

$$D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 36 + 160 = 196$$

Корни уравнения:

$$x_1=\frac{-6-\sqrt{196}}{2}=\frac{-6-14}{2}=-10$$

$$x_1 = \frac{-6 — \sqrt{196}}{2} = \frac{-6 — 14}{2} = -10$$ $$x_2 = \frac{-6 + \sqrt{196}}{2} = \frac{-6 + 14}{2} = 4$$

7. Проверим, при каких значениях выражение имеет смысл:

• $x \neq 0$ (из-за знаменателей),
• $x — 2 \neq 0$, отсюда $x \neq 2$,
• $x + 2 \neq 0$, отсюда $x \neq -2$.

Ответ: $-10; 4$.

б) $\frac{27}{x^2 + 3x} — \frac{2}{x} = \frac{3}{x^2 — 3x};$

1. Разложим знаменатели:

$$x^2 + 3x = x(x + 3)$$ $$x^2 — 3x = x(x — 3)$$

Подставляем это в уравнение:

$$\frac{27}{x(x + 3)} — \frac{2}{x} = \frac{3}{x(x — 3)}$$

2. Умножим обе части уравнения на $x(x + 3)(x — 3)$ для избавления от знаменателей:

$$27(x — 3) — 2(x — 3)(x + 3) = 3(x + 3)$$

3. Раскроем скобки на левой и правой части уравнения:

$$27(x — 3) = 27x — 81$$ $$-2(x — 3)(x + 3) = -2(x^2 — 9) = -2x^2 + 18$$ $$3(x + 3) = 3x + 9$$

Подставим в уравнение:

$$27x — 81 — 2x^2 + 18 = 3x + 9$$

4. Упростим уравнение:

$$27x — 2x^2 — 81 + 18 = 3x + 9$$ $$-2x^2 + 27x — 63 = 3x + 9$$

5. Переносим все члены на одну сторону:

$$-2x^2 + 27x — 63 — 3x — 9 = 0$$ $$-2x^2 + 24x — 72 = 0$$

Умножим на $-1$:

$$2x^2 — 24x + 72 = 0$$

6. Разделим на 2:

$$x^2 — 12x + 36 = 0$$

7. Это полное квадратное уравнение:

$$(x — 6)^2 = 0$$

8. Решение:

$$x — 6 = 0, \quad x = 6$$

9. Проверим, при каких значениях выражение имеет смысл:

• $x \neq 0$,
• $x — 3 \neq 0$, отсюда $x \neq 3$,
• $x + 3 \neq 0$, отсюда $x \neq -3$.

Ответ: $6$.