ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 537 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение двумя способами:

а) $x^6 — 1 = 0;$

б) $x^6 — 64 = 0.$

Указание.
1-й способ: преобразуйте левую часть уравнения как разность квадратов;
2-й способ: преобразуйте левую часть уравнения как разность кубов.

а) $x^6 — 1 = 0;$

Первый способ:

$(x^3 — 1)(x^3 + 1) = 0;$

$x^3 — 1 = 0;$

$x^3 = 1,$ отсюда $x = 1;$

$x^3 + 1 = 0;$

$x^3 = -1,$ отсюда $x = -1;$

Второй способ:

$(x^2 — 1)(x^4 + x^2 + 1) = 0;$

$x^2 — 1 = 0;$

$x^2 = 1,$ отсюда $x = \pm 1;$

$x^4 + x^2 + 1 = 0;$

$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 — 4 = -3;$

$D < 0,$ значит корней нет;

Ответ: $-1; 1.$

б) $x^6 — 64 = 0;$

Первый способ:

$(x^3 — 8)(x^3 + 8) = 0;$

$x^3 — 8 = 0;$

$x^3 = 8,$ отсюда $x = 2;$

$x^3 + 8 = 0;$

$x^3 = -8,$ отсюда $x = -2;$

Второй способ:

$(x^2 — 4)(x^4 + 4x^2 + 16) = 0;$

$x^2 — 4 = 0;$

$x^2 = 4,$ отсюда $x = \pm 2;$

$x^4 + 4x^2 + 16 = 0;$

$D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 16 = 16 — 64 = -48;$

$D < 0,$ значит корней нет;

Ответ: $-2; 2.$

а) $x^6 — 1 = 0;$

Первый способ:

Разлагаем $x^6 — 1$ как разность кубов:

$$x^6 — 1 = (x^3 — 1)(x^3 + 1)$$

Теперь решаем $(x^3 — 1) = 0$ и $(x^3 + 1) = 0$:

Для $x^3 — 1 = 0$:

$$x^3 = 1$$

Корень из куба числа 1:

$$x = 1$$

Для $x^3 + 1 = 0$:

$$x^3 = -1$$

Корень из куба числа -1:

$$x = -1$$

Ответ: $1; -1$.

Второй способ:

Разлагаем $x^6 — 1$ как разность квадратов:

$$x^6 — 1 = (x^2 — 1)(x^4 + x^2 + 1)$$

Теперь решаем $x^2 — 1 = 0$ и $x^4 + x^2 + 1 = 0$:

Для $x^2 — 1 = 0$:

$$x^2 = 1$$

Корни из этого уравнения:

$$x = \pm 1$$

Для $x^4 + x^2 + 1 = 0$:

Решаем дискриминант $D$ для $x^2$:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 — 4 = -3$$

Так как $D < 0$, решений для $x^2$ нет.

Ответ: $1; -1$.

б) $x^6 — 64 = 0;$

Первый способ:

Разлагаем $x^6 — 64$ как разность кубов:

$$x^6 — 64 = (x^3 — 8)(x^3 + 8)$$

Теперь решаем $(x^3 — 8) = 0$ и $(x^3 + 8) = 0$:

Для $x^3 — 8 = 0$:

$$x^3 = 8$$

Корень из куба числа 8:

$$x = 2$$

Для $x^3 + 8 = 0$:

$$x^3 = -8$$

Корень из куба числа -8:

$$x = -2$$

Ответ: $2; -2$.

Второй способ:

Разлагаем $x^6 — 64$ как разность квадратов:

$$x^6 — 64 = (x^2 — 4)(x^4 + 4x^2 + 16)$$

Теперь решаем $x^2 — 4 = 0$ и $x^4 + 4x^2 + 16 = 0$:

Для $x^2 — 4 = 0$:

$$x^2 = 4$$

Корни из этого уравнения:

$$x = \pm 2$$

Для $x^4 + 4x^2 + 16 = 0$:

Решаем дискриминант $D$ для $x^2$:

$$D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 16 = 16 — 64 = -48$$

Так как $D < 0$, решений для $x^2$ нет.

Ответ: $2; -2$.