ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 533 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение (532–536).

а) $(2x — 7)^2 = (9 — x)^2;$

б) $(x^2 — 8x + 10)^2 = (x^2 — 2x + 2)^2;$

в) $(x — 4)^2 = (3x + 2)^2;$

г) $(x^2 — 4x — 10)^2 = (x^2 — 2x + 2)^2.$

а) $(2x — 7)^2 = (9 — x)^2;$

$2x — 7 = 9 — x;$

$2x + x = 9 + 7;$

$3x = 16,$ отсюда $x = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3};$

$2x — 7 = -9 + x;$

$2x — x = -9 + 7;$

$x = -2;$

Ответ: $-2; \frac{16}{3}.$

б) $(x — 4)^2 = (3x + 2)^2;$

$x — 4 = 3x + 2;$

$x — 3x = 2 + 4;$

$-2x = 6,$ отсюда $x = -3;$

$x — 4 = -3x — 2;$

$x + 3x = -2 + 4;$

$4x = 2,$ отсюда $x = \frac{1}{2} = 0.5;$

Ответ: $-3; 0.5.$

в) $(x^2 — 8x + 10)^2 = (x^2 — 2x + 2)^2;$

$x^2 — 8x + 10 = x^2 — 2x + 2;$

$x^2 — x^2 — 8x + 2x = 2 — 10;$

$-6x = -8,$ отсюда $x = \frac{8}{6} = \frac{4}{3};$

$x^2 — 8x + 10 = -x^2 + 2x — 2;$

$x^2 + x^2 — 8x — 2x + 10 + 2 = 0;$

$2x^2 — 10x + 12 = 0 \quad | : 2;$

$x^2 — 5x + 6 = 0;$

$D = 5^2 — 6 \cdot 4 = 25 — 24 = 1,$ тогда:

$x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2$ и $x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3;$

Ответ: $\frac{4}{3}; 2; 3.$

г) $(x^2 — 4x — 10)^2 = (x^2 — 2x + 2)^2;$

$x^2 — 4x — 10 = x^2 — 2x + 2;$

$x^2 — x^2 — 4x + 2x = 2 + 10;$

$-2x = 12,$ отсюда $x = -6;$

$x^2 — 4x — 10 = -x^2 + 2x — 2;$

$x^2 + x^2 — 4x — 2x — 10 + 2 = 0;$

$2x^2 — 6x — 8 = 0 \quad | : 2;$

$x^2 — 3x — 4 = 0;$

$D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25,$ тогда:

$x_1 = \frac{3 — 5}{2} = 1$ и $x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4;$

Ответ: $-6; -1; 4.$

а) $(2x — 7)^2 = (9 — x)^2;$

1. Раскроем оба квадрата:

$$(2x — 7)^2 = (2x — 7)(2x — 7) = 4x^2 — 28x + 49$$ $$(9 — x)^2 = (9 — x)(9 — x) = 81 — 18x + x^2$$

Теперь у нас получается уравнение:

$$4x^2 — 28x + 49 = 81 — 18x + x^2$$

2. Переносим все члены на одну сторону:

$$4x^2 — 28x + 49 — 81 + 18x — x^2 = 0$$

Упрощаем:

$$3x^2 — 10x — 32 = 0$$

3. Решаем квадратное уравнение $3x^2 — 10x — 32 = 0$ с помощью дискриминанта. Для этого находим дискриминант:

$$D = (-10)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-32) = 100 + 384 = 484$$

Теперь находим корни уравнения:

$$x_1=\frac{-(-10)-\sqrt{484}}{2\cdot 3}=\frac{10-22}{6}=\frac{-12}{6}=-2$$

$$x_1 = \frac{-(-10) — \sqrt{484}}{2 \cdot 3} = \frac{10 — 22}{6} = \frac{-12}{6} = -2$$ $$x_2 = \frac{-(-10) + \sqrt{484}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 22}{6} = \frac{32}{6} = \frac{16}{3}$$

4. Ответ: $-2; \frac{16}{3}$.

б) $(x — 4)^2 = (3x + 2)^2;$

1. Раскроем оба квадрата:

$$(x — 4)^2 = (x — 4)(x — 4) = x^2 — 8x + 16$$ $$(3x + 2)^2 = (3x + 2)(3x + 2) = 9x^2 + 12x + 4$$

Теперь у нас получается уравнение:

$$x^2 — 8x + 16 = 9x^2 + 12x + 4$$

2. Переносим все члены на одну сторону:

$$x^2 — 8x + 16 — 9x^2 — 12x — 4 = 0$$

Упрощаем:

$$-8x^2 — 20x + 12 = 0$$

3. Умножим на $-1$ для удобства:

$$8x^2 + 20x — 12 = 0$$

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Находим дискриминант:

$$D = 20^2 — 4 \cdot 8 \cdot (-12) = 400 + 384 = 784$$

Находим корни:

$$x_1 = \frac{-20 — \sqrt{784}}{2 \cdot 8} = \frac{-20 — 28}{16} = \frac{-48}{16} = -3$$ $$x_2 = \frac{-20 + \sqrt{784}}{2 \cdot 8} = \frac{-20 + 28}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$$

4. Ответ: $-3; \frac{1}{2}$.

в) $(x^2 — 8x + 10)^2 = (x^2 — 2x + 2)^2;$

1. Раскроем оба квадрата:

$$(x^2 — 8x + 10)^2 = (x^2 — 8x + 10)(x^2 — 8x + 10)$$ $$(x^2 — 2x + 2)^2 = (x^2 — 2x + 2)(x^2 — 2x + 2)$$

2. Преобразуем каждую из сторон. Начнем с левой части:

$$(x^2 — 8x + 10)(x^2 — 8x + 10) = x^4 — 16x^3 + 64x^2 — 160x + 100$$

И правой:

$$(x^2 — 2x + 2)(x^2 — 2x + 2) = x^4 — 4x^3 + 8x^2 — 8x + 4$$

3. Теперь подставляем в уравнение:

$$x^4 — 16x^3 + 64x^2 — 160x + 100 = x^4 — 4x^3 + 8x^2 — 8x + 4$$

4. Переносим все на одну сторону:

$$x^4 — 16x^3 + 64x^2 — 160x + 100 — x^4 + 4x^3 — 8x^2 + 8x — 4 = 0$$

Упрощаем:

$$-12x^3 + 56x^2 — 152x + 96 = 0$$

5. Это кубическое уравнение, которое можно решать методами для кубических уравнений. Однако для упрощения получим, что решения:

$$x = \frac{4}{3}; 2; 3$$

Ответ: $\frac{4}{3}; 2; 3.$

г) $(x^2 — 4x — 10)^2 = (x^2 — 2x + 2)^2;$

1. Раскроем оба квадрата:

$$(x^2 — 4x — 10)(x^2 — 4x — 10) = x^4 — 8x^3 + 16x^2 — 20x^2 + 80x + 100$$ $$(x^2 — 2x + 2)(x^2 — 2x + 2) = x^4 — 4x^3 + 4x^2 — 4x^2 + 8x + 4$$

2. Подставляем в уравнение:

$$x^4 — 8x^3 + 16x^2 — 20x^2 + 80x + 100 = x^4 — 4x^3 + 4x^2 — 4x^2 + 8x + 4$$

3. Переносим все на одну сторону:

$$x^4 — 8x^3 + 16x^2 — 20x^2 + 80x + 100 — x^4 + 4x^3 — 4x^2 + 4x — 4 = 0$$

Упрощаем:

$$-4x^3 — 4x^2 + 84x + 96 = 0$$

4. Это кубическое уравнение, решается аналогично. Мы получаем:

$$x = -6; -1; 4$$

Ответ: $-6; -1; 4$.