ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 530 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите тождество (528—530).

а) $(a + b + c)(bc + ac + ab) — abc = (b+c)(c+a)(a+b)$;

б) $(a-b)(b-c)(a-c) = ab(a-b) — ac(a-c) — bc(c-b)$.

а) $(a + b + c)(bc + ac + ab) — abc =$

$= abc + a^2c + a^2b + b^2c + abc + ab^2 + bc^2 + ac^2 + abc — abc =$

$= (abc + b^2c) + (bc^2 + ac^2) + (a^2c + ac) + (a^2b + ab^2) =$

$= bc(a + b) + c^2(b + a) + ac(a + b) + ab(a + b) =$

$= (a + b)(bc + c^2 + ac + ab) = (a + b) \cdot (c(b + c) + a(b + c)) =$

$= (a + b)(b + c)(a + c);$

Тождество доказано.

б) $(a — b)(b — c)(a — c) = (a — b)(ab — bc — ac + c^2) =$

$= a^2b — abc — a^2c + ac^2 — ab^2 + b^2c + abc — bc^2 =$

$= (a^2b — ab^2) — (a^2c + ac^2) — (bc^2 + b^2c) =$

$= ab(a — b) — ac(a — c) — bc(c — b);$

Тождество доказано.

а) $(a + b + c)(bc + ac + ab) — abc =$

1. Начнем с раскрытия первого произведения:

$$(a + b + c)(bc + ac + ab)$$

Для этого раскроем каждое из произведений:

$$(a + b + c)(bc) = a \cdot bc + b \cdot bc + c \cdot bc = abc + b^2c + bc^2$$ $$(a + b + c)(ac) = a \cdot ac + b \cdot ac + c \cdot ac = a^2c + abc + ac^2$$ $$(a + b + c)(ab) = a \cdot ab + b \cdot ab + c \cdot ab = a^2b + ab^2 + abc$$

Теперь складываем все полученные выражения:

$$abc + b^2c + bc^2 + a^2c + abc + ac^2 + a^2b + ab^2 + abc$$

Объединим подобные члены:

$$= 3abc + a^2c + a^2b + b^2c + ab^2 + bc^2 + ac^2$$

Теперь вычитаем $abc$:

$$3abc + a^2c + a^2b + b^2c + ab^2 + bc^2 + ac^2 — abc = 2abc + a^2c + a^2b + b^2c + ab^2 + bc^2 + ac^2$$

2. Теперь сгруппируем по формам:

$$= (abc + b^2c) + (bc^2 + ac^2) + (a^2c + ac) + (a^2b + ab^2)$$

Выносим общий множитель из каждой группы:

$$= bc(a + b) + c^2(b + a) + ac(a + b) + ab(a + b)$$

Теперь выносим общий множитель $(a + b)$ из всего выражения:

$$= (a + b)(bc + c^2 + ac + ab)$$

Распишем внутреннее произведение:

$$= (a + b) \cdot (c(b + c) + a(b + c))$$

Теперь можно сгруппировать все множители:

$$= (a + b)(b + c)(a + c)$$

Таким образом, тождество доказано.

б) $(a — b)(b — c)(a — c) = (a — b)(ab — bc — ac + c^2) =$

1. Начнем с раскрытия выражения $(a — b)(ab — bc — ac + c^2)$:
Раскроем скобки:

$$(a — b)(ab — bc — ac + c^2) = a \cdot (ab — bc — ac + c^2) — b \cdot (ab — bc — ac + c^2)$$

Теперь раскроем каждое из произведений:

$$a \cdot (ab — bc — ac + c^2) = a^2b — abc — a^2c + ac^2$$ $$— b \cdot (ab — bc — ac + c^2) = — ab^2 + b^2c + abc — bc^2$$

Теперь складываем все эти выражения:

$$a^2b — abc — a^2c + ac^2 — ab^2 + b^2c + abc — bc^2$$

Объединяем подобные члены:

$$= a^2b — ab^2 — a^2c + ac^2 + b^2c — bc^2$$

Группируем члены:

$$= (a^2b — ab^2) — (a^2c + ac^2) — (bc^2 + b^2c)$$

Выносим общий множитель из каждой группы:

$$= ab(a — b) — ac(a — c) — bc(c — b)$$

Таким образом, тождество доказано.