ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 529 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите тождество (528—530).

а) $\dfrac{x^2 — (y+z)^2}{(x-z)^2 — y^2} + \dfrac{(x-y)^2 — z^2}{x^2 — (y-z)^2} + \dfrac{y^2 — (z+x)^2}{(x+y)^2 — z^2} = 1$;

б) $\dfrac{ac — bc — c^2}{(a-c)^2 — b^2} — \dfrac{ab + bc — b^2}{a^2 — (b-c)^2} — \dfrac{ac + ab + a^2}{(a+b)^2 — c^2} = -1$.

а) $\dfrac{x^2 — (y+z)^2}{(x-z)^2 — y^2} + \dfrac{(x-y)^2 — z^2}{x^2 — (y-z)^2} + \dfrac{y^2 — (z+x)^2}{(x+y)^2 — z^2} = 1$;

Сократим дроби:

$$\frac{x^2-(y+z{)}^2}{(x-z{)}^2-y^2}=\frac{(x-y-z)(x+y+z)}{(x-z-y)(x-z+y)}=\frac{x+y+z}{x-z-y};$$

$$\dfrac{x^2 — (y+z)^2}{(x-z)^2 — y^2} = \dfrac{(x-y-z)(x+y+z)}{(x-z-y)(x-z+y)} = \dfrac{x+y+z}{x-z-y};$$ $$\frac{(x-y{)}^2-z^2}{x^2-(y-z{)}^2}=\frac{(x-y-z)(x-y+z)}{(x-y+z)(x+y-z)}=\frac{x-y-z}{x+y-z};$$

$$\dfrac{(x-y)^2 — z^2}{x^2 — (y-z)^2} = \dfrac{(x-y-z)(x-y+z)}{(x-y+z)(x+y-z)} = \dfrac{x-y-z}{x+y-z};$$ $$\dfrac{y^2 — (z+x)^2}{(x+y)^2 — z^2} = \dfrac{(y-z-x)(y+z+x)}{(x+y-z)(x+y+z)} = \dfrac{y-z-x}{x+y-z};$$

Получим тождество:

$$\frac{x+y+z+x-y-z+y-z-x}{x+y-z}=1;$$

$$\dfrac{x+y+z + x-y-z + y-z-x}{x+y-z} = 1;$$ $$\frac{x+y-z}{x+y-z}=1;$$

$$\dfrac{x+y-z}{x+y-z} = 1;$$ $$1 = 1;$$

Тождество доказано.

б) $\dfrac{ac — bc — c^2}{(a-c)^2 — b^2} — \dfrac{ab + bc — b^2}{a^2 — (b-c)^2} — \dfrac{ac + ab + a^2}{(a+b)^2 — c^2} = -1$;

Сократим дроби:

$$\frac{ac-bc-c^2}{(a-c{)}^2-b^2}=\frac{c(a-b-c)}{(a-c-b)(a-c+b)}=\frac{c}{a-c+b};$$

$$\dfrac{ac — bc — c^2}{(a-c)^2 — b^2} = \dfrac{c(a-b-c)}{(a-c-b)(a-c+b)} = \dfrac{c}{a-c+b};$$ $$\frac{ab+bc-b^2}{a^2-(b-c{)}^2}=\frac{b(a+c-b)}{(a-b+c)(a+b-c)}=\frac{b}{a+b-c};$$

$$\dfrac{ab + bc — b^2}{a^2 — (b-c)^2} = \dfrac{b(a+c-b)}{(a-b+c)(a+b-c)} = \dfrac{b}{a+b-c};$$ $$\dfrac{ac + ab + a^2}{(a+b)^2 — c^2} = \dfrac{a(c+b+a)}{(a+b-c)(a+b+c)} = \dfrac{a}{a+b-c};$$

Получим тождество:

$$\frac{c-b-a}{a+b-c}=-1;$$

$$\dfrac{c — b — a}{a+b-c} = -1;$$ $$-\frac{a+b+c}{a+b-c}=-1;$$

$$-\dfrac{a+b+c}{a+b-c} = -1;$$ $$-1 = -1;$$

Тождество доказано.

а) $\dfrac{x^2 — (y+z)^2}{(x-z)^2 — y^2} + \dfrac{(x-y)^2 — z^2}{x^2 — (y-z)^2} + \dfrac{y^2 — (z+x)^2}{(x+y)^2 — z^2} = 1$;

Рассмотрим первую дробь:

$$\dfrac{x^2 — (y+z)^2}{(x-z)^2 — y^2}$$

Числитель можно упростить, используя разность квадратов:

$$x^2 — (y+z)^2 = (x — (y+z))(x + (y+z)) = (x — y — z)(x + y + z)$$

Знаменатель также является разностью квадратов:

$$(x-z)^2 — y^2 = ((x-z) — y)((x-z) + y) = (x — z — y)(x — z + y)$$

Таким образом, первая дробь примет вид:

$$\dfrac{(x — y — z)(x + y + z)}{(x — z — y)(x — z + y)}$$

Сократим общий множитель $(x — z — y)$ в числителе и знаменателе:

$$\dfrac{x + y + z}{x — z — y}$$

Теперь рассмотрим вторую дробь:

$$\dfrac{(x-y)^2 — z^2}{x^2 — (y-z)^2}$$

Числитель можно также привести к разности квадратов:

$$(x — y)^2 — z^2 = (x — y — z)(x — y + z)$$

Знаменатель:

$$x^2 — (y — z)^2 = (x — (y — z))(x + (y — z)) = (x — y + z)(x + y — z)$$

Таким образом, вторая дробь примет вид:

$$\dfrac{(x — y — z)(x — y + z)}{(x + y — z)(x — y + z)}$$

Сократим общий множитель $(x — y + z)$ в числителе и знаменателе:

$$\dfrac{x — y — z}{x + y — z}$$

Рассмотрим третью дробь:

$$\dfrac{y^2 — (z+x)^2}{(x+y)^2 — z^2}$$

Числитель:

$$y^2 — (z + x)^2 = (y — (z + x))(y + (z + x)) = (y — z — x)(y + z + x)$$

Знаменатель:

$$(x + y)^2 — z^2 = ((x + y) — z)((x + y) + z) = (x + y — z)(x + y + z)$$

Таким образом, третья дробь примет вид:

$$\dfrac{(y — z — x)(y + z + x)}{(x + y — z)(x + y + z)}$$

Сократим общий множитель $(x + y + z)$ в числителе и знаменателе:

$$\dfrac{y — z — x}{x + y — z}$$

Теперь объединяем все дроби:

$$\dfrac{x + y + z}{x — z — y} + \dfrac{x — y — z}{x + y — z} + \dfrac{y — z — x}{x + y — z}$$

Объединяем все члены:

$$\dfrac{x + y + z + x — y — z + y — z — x}{x + y — z} = \dfrac{x + y — z}{x + y — z}$$

Получаем:

$$\dfrac{x + y — z}{x + y — z} = 1$$

Таким образом, тождество доказано.

б) $\dfrac{ac — bc — c^2}{(a-c)^2 — b^2} — \dfrac{ab + bc — b^2}{a^2 — (b-c)^2} — \dfrac{ac + ab + a^2}{(a+b)^2 — c^2} = -1$;

Рассмотрим первую дробь:

$$\dfrac{ac — bc — c^2}{(a — c)^2 — b^2}$$

Числитель можно переписать так:

$$ac — bc — c^2 = c(a — b — c)$$

Знаменатель является разностью квадратов:

$$(a — c)^2 — b^2 = (a — c — b)(a — c + b)$$

Таким образом, первая дробь примет вид:

$$\dfrac{c(a — b — c)}{(a — c — b)(a — c + b)}$$

Сократим $(a — c — b)$ в числителе и знаменателе:

$$\dfrac{c}{a — c + b}$$

Рассмотрим вторую дробь:

$$\dfrac{ab + bc — b^2}{a^2 — (b-c)^2}$$

Числитель можно переписать как:

$$ab + bc — b^2 = b(a + c — b)$$

Знаменатель снова является разностью квадратов:

$$a^2 — (b — c)^2 = (a — b + c)(a + b — c)$$

Таким образом, вторая дробь примет вид:

$$\dfrac{b(a + c — b)}{(a — b + c)(a + b — c)}$$

Сократим $(a + c — b)$ в числителе и знаменателе:

$$\dfrac{b}{a + b — c}$$

Рассмотрим третью дробь:

$$\dfrac{ac + ab + a^2}{(a + b)^2 — c^2}$$

Числитель:

$$ac + ab + a^2 = a(c + b + a)$$

Знаменатель является разностью квадратов:

$$(a + b)^2 — c^2 = (a + b — c)(a + b + c)$$

Таким образом, третья дробь примет вид:

$$\dfrac{a(c + b + a)}{(a + b — c)(a + b + c)}$$

Сократим $(a + b + c)$ в числителе и знаменателе:

$$\dfrac{a}{a + b — c}$$

Теперь объединяем все дроби:

$$\dfrac{c}{a — c + b} — \dfrac{b}{a + b — c} — \dfrac{a}{a + b — c}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\dfrac{c(a + b — c) — b(a — c + b) — a(a — c + b)}{(a + b — c)(a — c + b)}$$

Упрощаем числитель:

$$c(a + b — c) — b(a — c + b) — a(a — c + b) = -a — b — c$$

Таким образом, получаем:

$$-\dfrac{a + b + c}{a + b — c}$$

И получаем:

$$-\dfrac{a + b + c}{a + b — c} = -1$$

Тождество доказано.