ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 528 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите тождество (528—530).

а) $\dfrac{x^2 + 4x + 4}{2x^3 — x^2 — 8x + 4} : \dfrac{x+2}{2x^2 — 5x + 2} = 1$;

б) $\dfrac{2x-6}{x^4 + x^2 — 2} \cdot \dfrac{x^3 — x^2 + 2x — 2}{3-x} = -\dfrac{2}{x+1}$.

а) $\dfrac{x^2 + 4x + 4}{2x^3 — x^2 — 8x + 4} : \dfrac{x+2}{2x^2 — 5x + 2} = 1$;

$$\frac{(x+2{)}^2}{x^2(2x-1)-4(2x-1)}\cdot \frac{(2x-1)(x-2)}{x+2}=1;$$

$$\dfrac{(x+2)^2}{x^2(2x-1) — 4(2x-1)} \cdot \dfrac{(2x-1)(x-2)}{x+2} = 1;$$ $$\frac{(x+2)\cdot (2x-1)(x-2)}{(x^2-4)(2x-1)}=1;$$

$$\dfrac{(x+2) \cdot (2x-1)(x-2)}{(x^2-4)(2x-1)} = 1;$$ $$\frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)(x+2)}=1;$$

$$\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x-2)(x+2)} = 1;$$ $$1 = 1;$$

Тождество доказано.

б) $\dfrac{2x-6}{x^4 + x^2 — 2} \cdot \dfrac{x^3 — x^2 + 2x — 2}{3-x} = -\dfrac{2}{x+1}$;

$$\frac{2(x-3)}{x^4-x^2+2(x^2-1)}\cdot \frac{x^2(x-1)+2(x-1)}{-(x-3)}=-\frac{2}{x+1};$$

$$\dfrac{2(x-3)}{x^4 — x^2 + 2(x^2-1)} \cdot \dfrac{x^2(x-1) + 2(x-1)}{-(x-3)} = -\dfrac{2}{x+1};$$ $$\frac{2}{x^2(x^2-1)+2(x^2-1)}\cdot \frac{(x^2+2)(x-1)}{-1}=-\frac{2}{x+1};$$

$$\dfrac{2}{x^2(x^2-1) + 2(x^2-1)} \cdot \dfrac{(x^2+2)(x-1)}{-1} = -\dfrac{2}{x+1};$$ $$\frac{2(x^2+2)(x-1)}{-(x^2-1)(x+1)}=-\frac{2}{x+1};$$

$$\dfrac{2(x^2+2)(x-1)}{-(x^2-1)(x+1)} = -\dfrac{2}{x+1};$$ $$-\frac{2(x-1)}{(x-1)(x+1)}=-\frac{2}{x+1};$$

$$-\dfrac{2(x-1)}{(x-1)(x+1)} = -\dfrac{2}{x+1};$$ $$-\dfrac{2}{x+1} = -\dfrac{2}{x+1};$$

Тождество доказано.

а) $\dfrac{x^2 + 4x + 4}{2x^3 — x^2 — 8x + 4} : \dfrac{x+2}{2x^2 — 5x + 2} = 1$;

Раскроем числитель первой дроби $x^2 + 4x + 4$:

$$x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$$

Теперь числитель выглядит так:

$$\dfrac{(x+2)^2}{2x^3 — x^2 — 8x + 4}$$

Рассмотрим знаменатель $2x^3 — x^2 — 8x + 4$. Для упрощения выделим общий множитель $(2x — 1)$:

$$2x^3 — x^2 — 8x + 4 = x^2(2x — 1) — 4(2x — 1)$$

Таким образом, выражение теперь принимает вид:

$$\dfrac{(x+2)^2}{x^2(2x — 1) — 4(2x — 1)}$$

Рассмотрим вторую дробь:

$$\dfrac{x+2}{2x^2 — 5x + 2}$$

Применим деление дробей (умножение на обратную):

$$\dfrac{(x+2)^2}{x^2(2x — 1) — 4(2x — 1)} \cdot \dfrac{2x^2 — 5x + 2}{x + 2}$$

Сократим $x+2$ в числителе и знаменателе:

$$\dfrac{(x+2) \cdot (2x-1) \cdot (x-2)}{(x^2 — 4) \cdot (2x-1)}$$

Сократим $(2x-1)$ в числителе и знаменателе:

$$\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x-2)(x+2)}$$

Теперь сократим $(x+2)$ и $(x-2)$:

$$1 = 1$$

Тождество доказано.

б) $\dfrac{2x-6}{x^4 + x^2 — 2} \cdot \dfrac{x^3 — x^2 + 2x — 2}{3-x} = -\dfrac{2}{x+1}$;

Рассмотрим первую дробь $\dfrac{2x-6}{x^4 + x^2 — 2}$. В числителе вынесем $2$:

$$\dfrac{2(x-3)}{x^4 + x^2 — 2}$$

Рассмотрим знаменатель $x^4 + x^2 — 2$. Мы видим, что это можно записать как разность квадратов:

$$x^4 + x^2 — 2 = (x^2 — 1)^2$$

Теперь выражение выглядит так:

$$\dfrac{2(x-3)}{(x^2 — 1)^2}$$

Перейдем ко второй дроби:

$$\dfrac{x^3 — x^2 + 2x — 2}{3 — x}$$

В числителе можно вынести $(x-1)$:

$$\dfrac{(x-1)(x^2 + x + 2)}{-(x-3)}$$

Перепишем оба выражения:

$$\dfrac{2(x-3)}{(x^2 — 1)^2} \cdot \dfrac{(x-1)(x^2 + x + 2)}{-(x-3)}$$

6. Сократим $(x-3)$ в числителе и знаменателе:

$$\dfrac{2(x-1)(x^2 + x + 2)}{-(x^2 — 1)^2}$$

Упростим:

$$\dfrac{2(x^2 + x + 2)(x-1)}{-(x^2 — 1)(x+1)}$$

Сократим $(x-1)$ в числителе и знаменателе:

$$-\dfrac{2(x^2 + 2)(x-1)}{(x-1)(x+1)} = -\dfrac{2}{x+1}$$

Получаем:

$$-\dfrac{2}{x+1} = -\dfrac{2}{x+1}$$

Тождество доказано.