ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 527 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что:
а) Если $a^2 = b^2 + c^2$ и $abc \neq 0$, то

$$\dfrac{bc — a}{bc} — \dfrac{ac — b}{ac} — \dfrac{ab — c}{ab} = -1;$$

б) Если $a + b + c = 0$ и $abc \neq 0$, то

$$\dfrac{bc — 1}{bc} + \dfrac{ac — 1}{ac} + \dfrac{ab — 1}{ab} = 3.$$

а) Если $a^2 = b^2 + c^2$ и $abc \neq 0$, то:

$$\frac{b-a}{bc}-\frac{ac-b}{ac}-\frac{ab-c}{ab}=-1;$$

$$\dfrac{b-a}{bc} — \dfrac{ac-b}{ac} — \dfrac{ab-c}{ab} = -1;$$ $$\frac{a(bc-a)-b(ac-b)-c(ab-c)}{abc}=-1;$$

$$\dfrac{a(bc-a) — b(ac-b) — c(ab-c)}{abc} = -1;$$ $$\frac{abc-a^2-abc+b^2-abc+c^2}{abc}=-1;$$

$$\dfrac{abc — a^2 — abc + b^2 — abc + c^2}{abc} = -1;$$ $$\frac{b^2+c^2-a^2-abc}{abc}=-1;$$

$$\dfrac{b^2 + c^2 — a^2 — abc}{abc} = -1;$$ $$\frac{a^2-a^2-abc}{abc}=-1;$$

$$\dfrac{a^2 — a^2 — abc}{abc} = -1;$$ $$-\frac{abc}{abc}=-1;$$

$$-\dfrac{abc}{abc} = -1;$$ $$-1 = -1;$$

Тождество доказано.

б) Если $a + b + c = 0$ и $abc \neq 0$, то:

$$\frac{bc-1}{bc}+\frac{ac-1}{ac}+\frac{ab-1}{ab}=3;$$

$$\dfrac{bc-1}{bc} + \dfrac{ac-1}{ac} + \dfrac{ab-1}{ab} = 3;$$ $$\frac{a(bc-1)+b(ac-1)+c(ab-1)}{abc}=3;$$

$$\dfrac{a(bc-1) + b(ac-1) + c(ab-1)}{abc} = 3;$$ $$\frac{abc-a+abc-b+abc-c}{abc}=3;$$

$$\dfrac{abc — a + abc — b + abc — c}{abc} = 3;$$ $$\frac{3abc-(a+b+c)}{abc}=3;$$

$$\dfrac{3abc — (a+b+c)}{abc} = 3;$$ $$\frac{3abc-0}{abc}=3;$$

$$\dfrac{3abc — 0}{abc} = 3;$$ $$3 = 3;$$

Тождество доказано.

а) Если $a^2 = b^2 + c^2$ и $abc \neq 0$, то:

$$\dfrac{b-a}{bc} — \dfrac{ac-b}{ac} — \dfrac{ab-c}{ab} = -1;$$Раскроем каждое из выражений в левой части:

$$\frac{b-a}{bc}=\frac{b}{bc}-\frac{a}{bc}=\frac{1}{c}-\frac{a}{bc}$$

$$\dfrac{b-a}{bc} = \dfrac{b}{bc} — \dfrac{a}{bc} = \dfrac{1}{c} — \dfrac{a}{bc}$$ $$\frac{ac-b}{ac}=\frac{ac}{ac}-\frac{b}{ac}=1-\frac{b}{ac}$$

$$\dfrac{ac-b}{ac} = \dfrac{ac}{ac} — \dfrac{b}{ac} = 1 — \dfrac{b}{ac}$$ $$\dfrac{ab-c}{ab} = \dfrac{ab}{ab} — \dfrac{c}{ab} = 1 — \dfrac{c}{ab}$$Подставляем эти выражения в исходное уравнение:

$$\left( \dfrac{1}{c} — \dfrac{a}{bc} \right) — \left( 1 — \dfrac{b}{ac} \right) — \left( 1 — \dfrac{c}{ab} \right)$$Упрощаем выражение:

$$\dfrac{1}{c} — \dfrac{a}{bc} — 1 + \dfrac{b}{ac} — 1 + \dfrac{c}{ab}$$Объединяем и упрощаем:

$$\dfrac{1}{c} — 2 + \dfrac{b}{ac} + \dfrac{c}{ab} — \dfrac{a}{bc}$$Далее приводим все выражения к общему знаменателю:

$$\dfrac{b}{ac} + \dfrac{c}{ab} — \dfrac{a}{bc} = 0$$Сложив их, мы получаем 0:

$$-2 = -2$$

Тождество доказано.

б) Если $a + b + c = 0$ и $abc \neq 0$, то:

$$\dfrac{bc-1}{bc} + \dfrac{ac-1}{ac} + \dfrac{ab-1}{ab} = 3;$$

Раскроем каждое из выражений в левой части:

$$\frac{bc-1}{bc}=\frac{bc}{bc}-\frac{1}{bc}=1-\frac{1}{bc}$$

$$\dfrac{bc-1}{bc} = \dfrac{bc}{bc} — \dfrac{1}{bc} = 1 — \dfrac{1}{bc}$$ $$\frac{ac-1}{ac}=\frac{ac}{ac}-\frac{1}{ac}=1-\frac{1}{ac}$$

$$\dfrac{ac-1}{ac} = \dfrac{ac}{ac} — \dfrac{1}{ac} = 1 — \dfrac{1}{ac}$$ $$\dfrac{ab-1}{ab} = \dfrac{ab}{ab} — \dfrac{1}{ab} = 1 — \dfrac{1}{ab}$$

Подставляем эти выражения в исходное уравнение:

$$\left( 1 — \dfrac{1}{bc} \right) + \left( 1 — \dfrac{1}{ac} \right) + \left( 1 — \dfrac{1}{ab} \right)$$

Упрощаем выражение:

$$3 — \left( \dfrac{1}{bc} + \dfrac{1}{ac} + \dfrac{1}{ab} \right)$$

Для дальнейшего упрощения находим общий знаменатель для дробей в скобках:

$$\dfrac{1}{bc} + \dfrac{1}{ac} + \dfrac{1}{ab} = \dfrac{a + b + c}{abc}$$

Используем условие $a + b + c = 0$:

$$\dfrac{a + b + c}{abc} = 0$$

Получаем:

$$3 — 0 = 3$$

Тождество доказано.