ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 525 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сократите дробь (524—526).

а) $\dfrac{(2a — 2b)^2}{8b — 8a}$;

б) $\dfrac{4m^2 — 4n^2}{(4n — 4m)^2}$;

в) $\dfrac{(3x — 3y)^2 \cdot (2x — 2y)^2}{(6y — 6x)^3}$.

а) ${\displaystyle \frac{(2a-2b{)}^2}{8b-8a}}={\displaystyle \frac{4a^2-8ab+4b^2}{8(b-a)}}={\displaystyle \frac{4(b^2-2ab+a^2)}{8(b-a)}}=$

$\dfrac{(2a — 2b)^2}{8b — 8a} = \dfrac{4a^2 — 8ab + 4b^2}{8(b-a)} = \dfrac{4(b^2 — 2ab + a^2)}{8(b-a)} = \dfrac{4(b-a)^2}{8(b-a)} = \dfrac{b-a}{2}$;

б) ${\displaystyle \frac{4m^2-4n^2}{(4n-4m{)}^2}}={\displaystyle \frac{4(m^2-n^2)}{16n^2-32+16n^2}}={\displaystyle \frac{4(m^2-n^2)}{16(m^2-2mn+n^2)}}=$

$\dfrac{4m^2 — 4n^2}{(4n — 4m)^2} = \dfrac{4(m^2 — n^2)}{16n^2 — 32 + 16n^2} = \dfrac{4(m^2 — n^2)}{16(m^2 — 2mn + n^2)} = \dfrac{4(m-n)(m+n)}{16(m-n)^2} = \dfrac{m+n}{4(m-n)}$;

в) ${\displaystyle \frac{(3x-3y{)}^2\cdot (2x-2y{)}^2}{(6y-6x{)}^3}}={\displaystyle \frac{(3\cdot (x-y){)}^2\cdot (2\cdot (x-y){)}^2}{(6\cdot (y-x){)}^3}}=$

$\dfrac{(3x-3y)^2 \cdot (2x-2y)^2}{(6y-6x)^3} = \dfrac{(3 \cdot (x-y))^2 \cdot (2 \cdot (x-y))^2}{(6 \cdot (y-x))^3} = \dfrac{9(y-x)^2 \cdot 4(y-x)^2}{216(y-x)^3} = \dfrac{36 \cdot (y-x)^4}{216 \cdot (y-x)^3} = \dfrac{y-x}{6}$.

а) $\dfrac{(2a — 2b)^2}{8b — 8a}$;
Для начала, выделим выражение в числителе и знаменателе:

$$\dfrac{(2a — 2b)^2}{8b — 8a} = \dfrac{4a^2 — 8ab + 4b^2}{8(b — a)}.$$

Далее можно заметить, что числитель можно факторизовать как разность квадратов:

$$= \dfrac{4(b^2 — 2ab + a^2)}{8(b — a)} = \dfrac{4(b — a)^2}{8(b — a)}.$$

Теперь, если $b \neq a$, можем сократить на $(b — a)$ в числителе и знаменателе:

$$= \dfrac{b — a}{2}.$$

б) $\dfrac{4m^2 — 4n^2}{(4n — 4m)^2}$;
Сначала можно воспользоваться формулой разности квадратов для числителя:

$$\dfrac{4m^2 — 4n^2}{(4n — 4m)^2} = \dfrac{4(m^2 — n^2)}{(4n — 4m)^2} = \dfrac{4(m — n)(m + n)}{16(n — m)^2}.$$

Заменяем $(4n — 4m)$ на $4(n — m)$, и затем можно упростить:

$$= \dfrac{(m — n)(m + n)}{4(n — m)^2}.$$

Так как $(n — m)^2 = (m — n)^2$, то получаем:

$$= \dfrac{m + n}{4(m — n)}.$$

в) $\dfrac{(3x — 3y)^2 \cdot (2x — 2y)^2}{(6y — 6x)^3}$;
Начнем с выделения общих множителей в числителе и знаменателе:

$$= \dfrac{(3(x — y))^2 \cdot (2(x — y))^2}{(6(y — x))^3}.$$

Теперь упростим каждое из выражений:

$$= \dfrac{9(x — y)^2 \cdot 4(x — y)^2}{216(y — x)^3}.$$

Так как $(y — x) = -(x — y)$, то подставим:

$$= \dfrac{36(x — y)^4}{216(x — y)^3} = \dfrac{(x — y)}{6}.$$