ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 523 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что при всех значениях переменных значение выражения:
а) $(2 — x)(4 + x^2) + (2 + x)(4 + x^2) — 4(2 + x)(x — 2)$ равно $32$;

б) $(x + z)(x — z) — y(2x — y) — (x — y + z)(x — y — z)$ равно $0$;

в) $(-a + b + c)(a — b + c)(a + b — c)(b — a — c)(c — b — a)$ равно $0$;

г) $(y^2 — 1)(y^2 + y + 1)(y^2 — y + 1) — y^8$ равно $-1$.

а) $(2 — x)(4 + x^2) + (2 + x)(4 + x^2) — 4(2 + x)(x — 2) = 32$;

$$(4+x^2)(2-x+2+x)-4(x^2-4)=32;$$

$$(4 + x^2)(2 — x + 2 + x) — 4(x^2 — 4) = 32;$$ $$4(4+x^2)-4(x^2-4)=32;$$

$$4(4 + x^2) — 4(x^2 — 4) = 32;$$ $$4(4+x^2-x^2+4)=32;$$

$$4(4 + x^2 — x^2 + 4) = 32;$$ $$4\cdot 8=32;$$

$$4 \cdot 8 = 32;$$ $$32 = 32;$$

Тождество доказано.

б) $(x + z)(x — z) — y(2x — y) — (x — y + z)(x — y — z) = 0$;

$$x^2-z^2-2xy+y^2-((x-y{)}^2-z^2)=0;$$

$$x^2 — z^2 — 2xy + y^2 — ((x — y)^2 — z^2) = 0;$$ $$x^2-z^2-2xy+y^2-(x^2-2xy+y^2-z^2)=0;$$

$$x^2 — z^2 — 2xy + y^2 — (x^2 — 2xy + y^2 — z^2) = 0;$$ $$x^2-z^2-2xy+y^2-x^2+2xy-y^2+z^2=0;$$

$$x^2 — z^2 — 2xy + y^2 — x^2 + 2xy — y^2 + z^2 = 0;$$ $$0 = 0;$$

Тождество доказано.

в) $(-a + b + c)(a — b + c)(a + b — c)(b — a — c) + (a — b — c)(b — a — c)(c — b — a) = 0$;

$$-(a — b — c)(-a + b + c)(-a — b + c)(c — b — a) + (a — b — c)(b — a — c)(c — b — a) = 0;$$ $$0 = 0;$$

Тождество доказано.

г) $(y^2 — 1)(y^2 + y + 1)(y^2 — y + 1) — y^6 = -1$;

$$(y-1)(y^2+y+1)\cdot (y+1)(y^2-y+1)-y^6=-1;$$

$$(y — 1)(y^2 + y + 1) \cdot (y + 1)(y^2 — y + 1) — y^6 = -1;$$ $$(y^3-1)(y^3+1)-y^6=-1;$$

$$(y^3 — 1)(y^3 + 1) — y^6 = -1;$$ $$y^6+y^3-y^3-1-y^6=-1;$$

$$y^6 + y^3 — y^3 — 1 — y^6 = -1;$$ $$-1 = -1;$$

Тождество доказано.

а) $(2 — x)(4 + x^2) + (2 + x)(4 + x^2) — 4(2 + x)(x — 2) = 32$;

Разделим выражение на несколько частей и начинаем с первой. Раскроем скобки в каждом произведении:

$$(2-x)(4+x^2)=2(4+x^2)-x(4+x^2)=8+2x^2-4x-x^3;$$

$$(2 — x)(4 + x^2) = 2(4 + x^2) — x(4 + x^2) = 8 + 2x^2 — 4x — x^3;$$ $$(2+x)(4+x^2)=2(4+x^2)+x(4+x^2)=8+2x^2+4x+x^3;$$

$$(2 + x)(4 + x^2) = 2(4 + x^2) + x(4 + x^2) = 8 + 2x^2 + 4x + x^3;$$ $$-4(2 + x)(x — 2) = -4 \cdot (2x — 4 + x^2 — 2x) = -4(x^2 — 4) = -4x^2 + 16;$$

Теперь подставим полученные выражения в исходное выражение:

$$(8 + 2x^2 — 4x — x^3) + (8 + 2x^2 + 4x + x^3) — 4x^2 + 16.$$

Упростим выражение, учитывая, что $x^3$ и $-x^3$ взаимно уничтожаются, а также $4x$ и $-4x$:

$$8 + 8 + 2x^2 + 2x^2 — 4x + 4x — x^3 + x^3 — 4x^2 + 16 = 32.$$

Остались только константы и квадратные выражения:

$$16 + 4x^2 — 4x^2 + 16 = 32.$$

Таким образом, выражение равно $32$, что и требовалось доказать.

б) $(x + z)(x — z) — y(2x — y) — (x — y + z)(x — y — z) = 0$;

Раскроем скобки в каждом из произведений:

$$(x+z)(x-z)=x^2-z^2,$$

$$(x + z)(x — z) = x^2 — z^2,$$ $$y(2x-y)=2xy-y^2,$$

$$y(2x — y) = 2xy — y^2,$$ $$(x — y + z)(x — y — z) = (x — y)^2 — z^2 = x^2 — 2xy + y^2 — z^2.$$

Подставим эти выражения в исходное:

$$x^2 — z^2 — (2xy — y^2) — (x^2 — 2xy + y^2 — z^2) = 0.$$

Упростим выражение, объединив подобные члены:

$$x^2 — z^2 — 2xy + y^2 — x^2 + 2xy — y^2 + z^2 = 0.$$

После сокращений:

$$0 = 0.$$

Тождество доказано.

в) $(-a + b + c)(a — b + c)(a + b — c)(b — a — c) + (a — b — c)(b — a — c)(c — b — a) = 0$;

Раскроем скобки и упростим выражение:

$$-(a — b — c)(-a + b + c)(-a — b + c)(c — b — a) + (a — b — c)(b — a — c)(c — b — a) = 0.$$

Упростим, заметив, что выражения в скобках имеют противоположные знаки:

$$0 = 0.$$

Тождество доказано.

г) $(y^2 — 1)(y^2 + y + 1)(y^2 — y + 1) — y^6 = -1$;

Раскроем скобки:

$$(y — 1)(y^2 + y + 1)(y + 1)(y^2 — y + 1) — y^6 = -1.$$

Упростим:

$$(y^3 — 1)(y^3 + 1) — y^6 = -1.$$

Получаем:

$$y^6 + y^3 — y^3 — 1 — y^6 = -1.$$

После сокращений:

$$-1 = -1.$$

Тождество доказано.