ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 521 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите наибольшее значение выражения

$$\dfrac{1}{a^2 + b^2 — 2a + 4b + 10}.$$

При каких значениях $a$ и $b$ оно достигается?

$$\dfrac{1}{a^2 + b^2 — 2a + 4b + 10};$$

Наибольшее значение достигается при наименьшем делителе:

$$a^2 + b^2 — 2a + 4b + 10 = a^2 — 2a + 1 + b^2 + 4b + 4 + 5 =$$ $$= (a-1)^2 + (b+2)^2 + 5;$$

1) Наибольшее значение выражения:
$(a-1)^2 \geq 0$ и $(b+2)^2 \geq 0$, значит $\dfrac{1}{(a-1)^2 + (b+2)^2 + 5} \leq \dfrac{1}{5}$;

2) Найдем значение аргумента $a$:
$(a-1)^2 = 0$;
$a-1 = 0$, отсюда $a = 1$;

3) Найдем значение аргумента $b$:
$(b+2)^2 = 0$;
$b+2 = 0$, отсюда $b = -2$;

Ответ: наибольшее значение $\dfrac{1}{5}$ достигается при $a = 1$ и $b = -2$.

Рассмотрим выражение:

$$\dfrac{1}{a^2 + b^2 — 2a + 4b + 10}$$

Для того чтобы найти наибольшее значение этого выражения, сначала упростим числитель и знаменатель. Начнем с того, что выделим в знаменателе квадраты двучленов. Исходное выражение:

$$a^2 + b^2 — 2a + 4b + 10$$

Разложим его на составляющие, группируя подобные слагаемые:

$$a^2 — 2a + 1 + b^2 + 4b + 4 + 5$$

Теперь видим, что $a^2 — 2a + 1$ можно записать как $(a — 1)^2$, а $b^2 + 4b + 4$ — как $(b + 2)^2$. Получаем:

$$= (a — 1)^2 + (b + 2)^2 + 5$$

Теперь, когда выражение представлено в виде суммы квадратов, мы знаем, что каждый квадрат всегда неотрицателен, то есть:

$$(a — 1)^2 \geq 0 \quad \text{и} \quad (b + 2)^2 \geq 0$$

Следовательно, сумма этих квадратов будет иметь наименьшее значение, равное $0$, когда $a = 1$ и $b = -2$. Тогда выражение примет вид:

$$(a — 1)^2 + (b + 2)^2 + 5 \geq 5$$

Таким образом, наименьшее значение выражения $a^2 + b^2 — 2a + 4b + 10$ равно 5. Это значение достигается при $a = 1$ и $b = -2$.

Теперь, чтобы найти наибольшее значение исходного выражения, заметим, что $\dfrac{1}{a^2 + b^2 — 2a + 4b + 10}$ будет наибольшим, когда знаменатель будет наименьшим. Как мы только что показали, наименьшее значение знаменателя — это 5, когда $a = 1$ и $b = -2$. Следовательно, наибольшее значение выражения равно:

$$\dfrac{1}{5}$$

Ответ: наибольшее значение $\dfrac{1}{5}$ достигается при $a = 1$ и $b = -2$.