ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 520 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите наименьшее значение выражения

$$a^2 + b^2 — 2a + 4b + 10$$

и укажите пару значений $a$ и $b$, при которых оно достигается.

Указание. Выделите в выражении квадраты двучленов.

$$a^2 + b^2 — 2a + 4b + 10 = a^2 — 2a + 1 + b^2 + 4b + 4 + 5 =$$ $$= (a-1)^2 + (b+2)^2 + 5;$$

1) Наименьшее значение выражения:
$(a-1)^2 \geq 0$ и $(b+2)^2 \geq 0$, значит $(a-1)^2 + (b+2)^2 + 5 \geq 5$;

2) Найдем значение аргумента $a$:
$(a-1)^2 = 0$;
$a-1 = 0$, отсюда $a = 1$;

3) Найдем значение аргумента $b$:
$(b+2)^2 = 0$;
$b+2 = 0$, отсюда $b = -2$;

Ответ: наименьшее значение 5 достигается при $a = 1$ и $b = -2$.

Рассмотрим выражение:

$$a^2 + b^2 — 2a + 4b + 10$$

Чтобы упростить это выражение и найти его наименьшее значение, начнем с выделения квадратов двучленов. Перепишем выражение, группируя подобные слагаемые и выделяя квадраты:

$$a^2 — 2a + 1 + b^2 + 4b + 4 + 5$$

Теперь видим, что $a^2 — 2a + 1$ можно записать как $(a — 1)^2$, а $b^2 + 4b + 4$ — как $(b + 2)^2$. Получаем:

$$= (a — 1)^2 + (b + 2)^2 + 5$$

Теперь рассмотрим минимальные значения каждого квадрата. Мы знаем, что квадрат любого числа всегда неотрицателен, то есть:

$$(a — 1)^2 \geq 0 \quad \text{и} \quad (b + 2)^2 \geq 0$$

Следовательно, сумма этих квадратов будет иметь наименьшее значение, равное $0$, когда $a = 1$ и $b = -2$. Тогда все выражение примет вид:

$$(a — 1)^2 + (b + 2)^2 + 5 \geq 5$$

Таким образом, наименьшее значение выражения $a^2 + b^2 — 2a + 4b + 10$ равно 5 и оно достигается при $a = 1$ и $b = -2$.

Ответ: наименьшее значение 5 достигается при $a = 1$ и $b = -2$.