ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 519 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Вычислите значение выражения при заданных значениях переменных (если оно имеет смысл):
а) $\left( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \right) \left( \dfrac{1}{x} — \dfrac{1}{y} \right)$ при $x = 3$ и $y = 6$;
$x = -2$ и $y = 4$;
$x = 15$ и $y = 15$;
$x = 0.2$ и $y = 0.3$;

б) $\dfrac{a — \dfrac{b^2}{a}}{b — \dfrac{a^2}{b}}$ при $a = 4$ и $b = -1$;
$a = 0$ и $b = 10$;
$a = 1.5$ и $b = 0.3$;
$a = -16$ и $b = 16$.

а) $\left( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \right) : \left( \dfrac{1}{x} — \dfrac{1}{y} \right) = \dfrac{x+y}{xy} : \dfrac{y-x}{xy} = \dfrac{x+y}{xy} \cdot \dfrac{xy}{y-x} = \dfrac{x+y}{y-x}$;

Выражение имеет смысл при:
$x \neq 0$; $y \neq 0$;
$x — y \neq 0$, отсюда $x \neq y$;

1) При $x = 3$ и $y = 6$:

$$\dfrac{3+6}{6-3} = \dfrac{9}{3} = 3;$$

2) При $x = -2$ и $y = 4$:

$$\dfrac{x+y}{y-x} = \dfrac{-2+4}{4-(-2)} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3};$$

3) При $x = y = 15$:
Выражение не имеет смысла;

4) При $x = 0.2$ и $y = 0.3$:

$$\dfrac{0.2 + 0.3}{0.3 — 0.2} = \dfrac{0.5}{0.1} = 5;$$

б) $\dfrac{a — \dfrac{b^2}{a^2}}{b — \dfrac{a^2}{b}} = \dfrac{\dfrac{a^3 — b^2}{a^2}}{\dfrac{b^2 — a^2}{b}} = \dfrac{a^3 — b^2}{a^2} \cdot \dfrac{b}{b^2 — a^2} = \dfrac{a^3 — b^2}{a^2} \cdot \dfrac{b}{-(a^2 — b^2)} = -\dfrac{b}{a}$;

Выражение имеет смысл при:
$a \neq 0$; $b \neq 0$;
$b — \dfrac{a^2}{b} \neq 0 \quad \Rightarrow \quad b^2 — a^2 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad |b| \neq |a|$;

1) При $a = 4$ и $b = -1$:

$$-\dfrac{-1}{4} = \dfrac{1}{4};$$

2) При $a = 0$ и $b = 10$:
Выражение не имеет смысла;

3) При $a = 1.5$ и $b = 0.3$:

$$-\dfrac{0.3}{1.5} = -\dfrac{3}{15} = -\dfrac{1}{5};$$

4) При $a = -16$ и $b = 16$:
Выражение не имеет смысла.

а) Рассмотрим выражение:

$$\left( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \right) : \left( \dfrac{1}{x} — \dfrac{1}{y} \right)$$

Сначала упростим каждую из дробей. Сначала преобразуем числитель и знаменатель первой дроби, а затем второй. Начнем с числителя:

$$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{y}{xy} + \dfrac{x}{xy} = \dfrac{x + y}{xy}$$

Теперь перейдем к знаменателю:

$$\dfrac{1}{x} — \dfrac{1}{y} = \dfrac{y}{xy} — \dfrac{x}{xy} = \dfrac{y — x}{xy}$$

Теперь получаем выражение:

$$\dfrac{x + y}{xy} : \dfrac{y — x}{xy} = \dfrac{x + y}{xy} \cdot \dfrac{xy}{y — x}$$

После сокращения $xy$ получаем:

$$= \dfrac{x + y}{y — x}$$

Из этого выражения видно, что оно имеет смысл при $x \neq 0$, $y \neq 0$ и $x \neq y$, так как иначе дробь не существует.

Теперь подставим значения для $x$ и $y$:

При $x = 3$ и $y = 6$:

$$\dfrac{3 + 6}{6 — 3} = \dfrac{9}{3} = 3$$

При $x = -2$ и $y = 4$:

$$\dfrac{-2 + 4}{4 — (-2)} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$$

При $x = y = 15$:

Выражение не имеет смысла, так как $x = y$, что приводит к делению на ноль.

При $x = 0.2$ и $y = 0.3$:

$$\dfrac{0.2 + 0.3}{0.3 — 0.2} = \dfrac{0.5}{0.1} = 5$$

Ответ: при $x = 3$ и $y = 6$ получаем 3, при $x = -2$ и $y = 4$ получаем $\dfrac{1}{3}$, при $x = y = 15$ выражение не имеет смысла, при $x = 0.2$ и $y = 0.3$ получаем 5.

б) Рассмотрим выражение:

$$\dfrac{a — \dfrac{b^2}{a^2}}{b — \dfrac{a^2}{b}}$$

Начнем с упрощения числителя:

$$a — \dfrac{b^2}{a^2} = \dfrac{a^3 — b^2}{a^2}$$

Теперь упростим знаменатель:

$$b — \dfrac{a^2}{b} = \dfrac{b^2 — a^2}{b}$$

Теперь подставим в исходное выражение:

$$\dfrac{\dfrac{a^3 — b^2}{a^2}}{\dfrac{b^2 — a^2}{b}} = \dfrac{a^3 — b^2}{a^2} \cdot \dfrac{b}{b^2 — a^2}$$

Разделим выражение:

$$= \dfrac{a^3 — b^2}{a^2} \cdot \dfrac{b}{-(a^2 — b^2)} = -\dfrac{b}{a}$$

Выражение имеет смысл при $a \neq 0$, $b \neq 0$, а также $b^2 — a^2 \neq 0$, что эквивалентно $|b| \neq |a|$.

Теперь подставим значения для $a$ и $b$:

При $a = 4$ и $b = -1$:

$$-\dfrac{-1}{4} = \dfrac{1}{4}$$

При $a = 0$ и $b = 10$:

Выражение не имеет смысла, так как $a = 0$.

При $a = 1.5$ и $b = 0.3$:

$$-\dfrac{0.3}{1.5} = -\dfrac{3}{15} = -\dfrac{1}{5}$$

При $a = -16$ и $b = 16$:

Выражение не имеет смысла, так как $b = \pm a$.

Ответ: при $a = 4$ и $b = -1$ получаем $\dfrac{1}{4}$, при $a = 0$ и $b = 10$ выражение не имеет смысла, при $a = 1.5$ и $b = 0.3$ получаем $-\dfrac{1}{5}$, при $a = -16$ и $b = 16$ выражение не имеет смысла.