ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 518 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:
а) $(1 — y)(1 + y^2) + (1 + y)(1 + y^2)$ при $y = -\dfrac{3}{2}$, $0.1$, $-100$;

б) $(a + b)^2 + (a — b)^2 — (2a + b)(a + 2b)$ при $a = -\dfrac{1}{3}$ и $b = \dfrac{5}{7}$;
$a = 0.2$ и $b = 10$;
$a = -5$ и $b = -\dfrac{1}{125}$.

а) $(1 — y)(1 + y^2) + (1 + y)(1 + y^2) = (1 — y + 1 + y)(1 + y^2) = 2(1 + y^2)$;

1) При $y = -\dfrac{3}{2}$:

$$2 \cdot \left(1 + \left(-\dfrac{3}{2}\right)^2\right) = 2 \cdot \left(1 + \dfrac{9}{4}\right) = 2 \cdot \dfrac{4 + 9}{4} = 2 \cdot \dfrac{13}{4} = \dfrac{13}{2};$$

2) При $y = 0.1$:

$$2 \cdot (1 + 0.1^2) = 2 \cdot (1 + 0.01) = 2 \cdot 1.01 = 2.02;$$

3) При $y = -100$:

$$2 \cdot (1 + (-100)^2) = 2 \cdot (1 + 10000) = 2 \cdot 10001 = 20002;$$

б) $(a + b)^2 + (a — b)^2 — (2a + b)(a + 2b) =$

$$= a^2 + 2ab + b^2 + a^2 — 2ab + b^2 — (2a^2 + 4ab + ab + 2b^2) =$$ $$= 2a^2 + 2b^2 — 2a^2 — 5ab — 2b^2 = -5ab;$$

1) При $a = -\dfrac{1}{3}$ и $b = \dfrac{1}{5}$:

$$-5 \cdot \left(-\dfrac{1}{3}\right) \cdot \dfrac{1}{5} = 5 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3};$$

2) При $a = 0.2$ и $b = 10$:

$$-5 \cdot 0.2 \cdot 10 = -5 \cdot 2 = -10;$$

3) При $a = -5$ и $b = -\dfrac{1}{125}$:

$$-5 \cdot (-5) \cdot \left(-\dfrac{1}{125}\right) = -\dfrac{25}{125} = -\dfrac{1}{5}.$$

а) Рассмотрим выражение:

$$(1 — y)(1 + y^2) + (1 + y)(1 + y^2)$$

Начнем с того, что можно факторизовать выражение. Перепишем выражение как:

$$(1 — y)(1 + y^2) + (1 + y)(1 + y^2) = (1 + y^2)(1 — y + 1 + y) = 2(1 + y^2)$$

Теперь у нас есть упрощенное выражение:

$$2(1 + y^2)$$

Подставим различные значения для $y$ и вычислим результат.

При $y = -\dfrac{3}{2}$:

$$2 \cdot \left(1 + \left(-\dfrac{3}{2}\right)^2\right) = 2 \cdot \left(1 + \dfrac{9}{4}\right) = 2 \cdot \dfrac{4 + 9}{4} = 2 \cdot \dfrac{13}{4} = \dfrac{13}{2}$$

При $y = 0.1$:

$$2 \cdot (1 + 0.1^2) = 2 \cdot (1 + 0.01) = 2 \cdot 1.01 = 2.02$$

При $y = -100$:

$$2 \cdot (1 + (-100)^2) = 2 \cdot (1 + 10000) = 2 \cdot 10001 = 20002$$

Ответ: при $y = -\dfrac{3}{2}$ получаем $\dfrac{13}{2}$, при $y = 0.1$ получаем 2.02, при $y = -100$ получаем 20002.

б) Рассмотрим выражение:

$$(a + b)^2 + (a — b)^2 — (2a + b)(a + 2b)$$

Раскроем каждое из выражений:

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ $$(a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2$$ $$(2a + b)(a + 2b) = 2a^2 + 4ab + ab + 2b^2 = 2a^2 + 5ab + 2b^2$$

Теперь подставим эти выражения в исходную дробь:

$$a^2 + 2ab + b^2 + a^2 — 2ab + b^2 — (2a^2 + 5ab + 2b^2)$$

Упростим полученное выражение:

$$= 2a^2 + 2b^2 — 2a^2 — 5ab — 2b^2 = -5ab$$

Ответ: $-5ab$.

При $a = -\dfrac{1}{3}$ и $b = \dfrac{5}{7}$:

$$-5 \cdot \left(-\dfrac{1}{3}\right) \cdot \dfrac{5}{7} = 5 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{5}{7} = \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3}$$

При $a = 0.2$ и $b = 10$:

$$-5 \cdot 0.2 \cdot 10 = -5 \cdot 2 = -10$$

При $a = -5$ и $b = -\dfrac{1}{125}$:

$$-5 \cdot (-5) \cdot \left(-\dfrac{1}{125}\right) = -\dfrac{25}{125} = -\dfrac{1}{5}$$

Ответ: при $a = -\dfrac{1}{3}$ и $b = \dfrac{5}{7}$ получаем $\dfrac{1}{3}$, при $a = 0.2$ и $b = 10$ получаем $-10$, при $a = -5$ и $b = -\dfrac{1}{125}$ получаем $-\dfrac{1}{5}$.