ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 517 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение (515—517).

а) $(a^2 — 2)a^2 — a^3$;

б) $(1 + c^{-1} + c^2) : (c^2 — c)$.

а) $(a^2 — 2) \cdot a^{-2} — a^{-1}$;

$$=(\frac{a^2-2}{a^2}-\frac{1}{a}):(a+\frac{1}{a^2})=$$

$$= \left( \dfrac{a^2 — 2}{a^2} — \dfrac{1}{a} \right) : \left( a + \dfrac{1}{a^2} \right) =$$ $$=\frac{a^2-2-a}{a^2}:\frac{a^3+1}{a^2}=\frac{a^2-a-2}{a^2}\cdot \frac{a^2}{a^3+1}=\frac{a^2-a-2}{a^3+1}=$$

$$= \dfrac{a^2 — 2 — a}{a^2} : \dfrac{a^3 + 1}{a^2} = \dfrac{a^2 — a — 2}{a^2} \cdot \dfrac{a^2}{a^3 + 1} = \dfrac{a^2 — a — 2}{a^3 + 1} =$$ $$= \dfrac{a(a+1) — 2(a+1)}{(a+1)(a^2 — a + 1)} = \dfrac{a-2}{a^2 — a + 1};$$

б) $(1 + c^{-1} + c^{-2}) : (c^{-2} — c)$;

$$=(1+\frac{1}{c}+\frac{1}{c^2}):(\frac{1}{c^2}-c)=$$

$$= \left( 1 + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{c^2} \right) : \left( \dfrac{1}{c^2} — c \right) =$$ $$=\frac{c^2+c+1}{c^2}:\frac{1-c^3}{c^2}=\frac{c^2+c+1}{c^2}\cdot \frac{c^2}{1-c^3}=$$

$$= \dfrac{c^2 + c + 1}{c^2} : \dfrac{1 — c^3}{c^2} = \dfrac{c^2 + c + 1}{c^2} \cdot \dfrac{c^2}{1 — c^3} =$$ $$= \dfrac{c^2 + c + 1}{(1 — c)(1 + c + c^2)} = \dfrac{1}{1 — c}.$$

а) Рассмотрим выражение:

$$(a^2 — 2) \cdot a^{-2} — a^{-1}$$

Начнем с приведения всех степеней в числителе и знаменателе. Для этого преобразуем $a^{-2}$ и $a^{-1}$ как:

$$a^{-2} = \dfrac{1}{a^2}, \quad a^{-1} = \dfrac{1}{a}$$

Подставим это в выражение:

$$(a^2 — 2) \cdot \dfrac{1}{a^2} — \dfrac{1}{a}$$

Раскроем скобки в числителе первого слагаемого:

$$\dfrac{a^2 — 2}{a^2} — \dfrac{1}{a}$$

Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для первых двух дробей — это $a^2$:

$$= \dfrac{a^2 — 2}{a^2} — \dfrac{a}{a^2} = \dfrac{a^2 — 2 — a}{a^2}$$

Упростим числитель:

$$a^2 — a — 2$$

Таким образом, дробь становится:

$$\dfrac{a^2 — a — 2}{a^2}$$

Теперь разложим числитель на множители:

$$a^2 — a — 2 = (a — 2)(a + 1)$$

Таким образом, выражение примет вид:

$$\dfrac{(a — 2)(a + 1)}{a^2}$$

Далее подставим $a^2 = (a)(a)$, чтобы получить:

$$= \dfrac{(a — 2)(a + 1)}{a(a)}$$

Сокращаем:

$$= \dfrac{a — 2}{a}$$

Ответ: $\dfrac{a — 2}{a}$.

б) Рассмотрим выражение:

$$(1 + c^{-1} + c^{-2}) : (c^{-2} — c)$$

Начнем с преобразования $c^{-1}$ и $c^{-2}$:

$$c^{-1} = \dfrac{1}{c}, \quad c^{-2} = \dfrac{1}{c^2}$$

Подставляем это в выражение:

$$\left( 1 + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{c^2} \right) : \left( \dfrac{1}{c^2} — c \right)$$

Приводим дроби в числителе и знаменателе к общим знаменателям. Общий знаменатель для числителя — это $c^2$, а для знаменателя — $c^2$:

$$= \dfrac{c^2 + c + 1}{c^2} : \dfrac{1 — c^3}{c^2}$$

Теперь можно умножить на обратную величину знаменателя:

$$= \dfrac{c^2 + c + 1}{c^2} \cdot \dfrac{c^2}{1 — c^3}$$

Сокращаем $c^2$:

$$= \dfrac{c^2 + c + 1}{1 — c^3}$$

Разложим $1 — c^3$ как разность кубов:

$$1 — c^3 = (1 — c)(1 + c + c^2)$$

Таким образом, дробь примет вид:

$$= \dfrac{c^2 + c + 1}{(1 — c)(1 + c + c^2)}$$

Ответ: $\dfrac{1}{1 — c}$.