ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 516 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение (515—517).

а) $({\displaystyle \frac{a-2}{a^2-2a-3}}-{\displaystyle \frac{a-1}{a^2-a-6}})(a^2+3a+2)$;

б) $({\displaystyle \frac{b+6}{b^2-4b-5}}-{\displaystyle \frac{b+5}{b^2-5b-6}})(b^2-11b+30)$.

а) $({\displaystyle \frac{a-2}{a^2-2a-3}}-{\displaystyle \frac{a-1}{a^2-a-6}})(a^2+3a+2)$;

Разложим на множители:

$a^2-2a-3=a^2+a-3a-3=a(a+1)-3(a+1)=(a-3)(a+1)$;

$a^2-a-6=a^2+2a-3a-6=a(a+2)-3(a+2)=(a-3)(a+2)$;

$a^2+3a+2=a^2+a+2a+2=a(a+1)+2(a+2)=(a+2)(a+1)$.

Получим выражение:

$$(\frac{a-2}{(a-3)(a+1)}-\frac{a-1}{(a-3)(a+2)})(a+2)(a+1)=$$

$$$$$$=\frac{(a-2)(a+2)-(a-1)(a+1)}{(a-3)(a+1)(a+2)}\cdot (a+2)(a+1)=$$

$$$$$$=\frac{a^2-4-(a^2+a-a-1)}{a-3}=\frac{-3}{a-3}=\frac{3}{3-a}\mathrm{.}$$

б) $({\displaystyle \frac{b+6}{b^2-4b-5}}-{\displaystyle \frac{b+5}{b^2-5b-6}})(b^2-11b+30)$;

Разложим на множители:

$b^2-4b-5=b^2+b-5b-5=b(b+1)-5(b+1)=(b-5)(b+1)$;

$b^2-5b-6=b^2+b-6b-6=b(b+1)-6(b+1)=(b-6)(b+1)$;

$b^2-11b+30=b^2-5b-6b+30=b(b-5)-6(b-5)=(b-6)(b-5)$.

Получим выражение:

$$(\frac{b+6}{(b-5)(b+1)}-\frac{b+5}{(b-6)(b+1)})(b-6)(b-5)=$$

$$$$$$=\frac{(b+6)(b-6)-(b+5)(b-5)}{(b-5)(b+1)(b-6)}\cdot (b-6)(b-5)=$$

$$$$$$=\frac{b^2-36-(b^2-25)}{b+1}=-\frac{11}{b+1}\mathrm{.}$$

а) Рассмотрим выражение:

$$(\frac{a-2}{a^2-2a-3}-\frac{a-1}{a^2-a-6})(a^2+3a+2)$$

Начнем с разложения знаменателей на множители.

Разложим $a^2-2a-3$:

$$a^2-2a-3=a^2+a-3a-3=a(a+1)-3(a+1)=(a-3)(a+1)$$

Разложим $a^2-a-6$:

$$a^2-a-6=a^2+2a-3a-6=a(a+2)-3(a+2)=(a-3)(a+2)$$

Разложим $a^2+3a+2$:

$$a^2+3a+2=a^2+a+2a+2=a(a+1)+2(a+2)=(a+2)(a+1)$$

Подставим эти разложения в исходное выражение:

$$(\frac{a-2}{(a-3)(a+1)}-\frac{a-1}{(a-3)(a+2)})(a+2)(a+1)$$

Теперь приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — это произведение $(a-3)(a+1)(a+2)$, поэтому:

$$\frac{a-2}{(a-3)(a+1)}-\frac{a-1}{(a-3)(a+2)}=\frac{(a-2)(a+2)-(a-1)(a+1)}{(a-3)(a+1)(a+2)}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(a-2)(a+2)=a^2+2a-2a-4=a^2-4$$$$(a-1)(a+1)=a^2+a-a-1=a^2-1$$

Подставим эти значения в числитель:

$$\frac{a^2-4-(a^2-1)}{(a-3)(a+1)(a+2)}$$

Упростим числитель:

$$a^2-4-a^2+1=-3$$

Теперь выражение примет вид:

$$\frac{-3}{(a-3)(a+1)(a+2)}\cdot (a+2)(a+1)$$

Сократим $(a+2)(a+1)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a\mathrm{\ne }-2$ и $a\mathrm{\ne }-1$):

$$\frac{-3}{a-3}$$

Это выражение можно записать как:

$$\frac{3}{3-a}$$

Ответ: ${\displaystyle \frac{3}{3-a}}$.

б) Рассмотрим выражение:

$$(\frac{b+6}{b^2-4b-5}-\frac{b+5}{b^2-5b-6})(b^2-11b+30)$$

Начнем с разложения знаменателей на множители.

Разложим $b^2-4b-5$:

$$b^2-4b-5=b^2+b-5b-5=b(b+1)-5(b+1)=(b-5)(b+1)$$

Разложим $b^2-5b-6$:

$$b^2-5b-6=b^2+b-6b-6=b(b+1)-6(b+1)=(b-6)(b+1)$$

Разложим $b^2-11b+30$:

$$b^2-11b+30=b^2-5b-6b+30=b(b-5)-6(b-5)=(b-6)(b-5)$$

Подставим эти разложения в исходное выражение:

$$(\frac{b+6}{(b-5)(b+1)}-\frac{b+5}{(b-6)(b+1)})(b-6)(b-5)$$

Теперь приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — это произведение $(b-5)(b+1)(b-6)$, поэтому:

$$\frac{b+6}{(b-5)(b+1)}-\frac{b+5}{(b-6)(b+1)}=\frac{(b+6)(b-6)-(b+5)(b-5)}{(b-5)(b+1)(b-6)}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(b+6)(b-6)=b^2-36$$$$(b+5)(b-5)=b^2-25$$

Подставим эти значения в числитель:

$$\frac{b^2-36-(b^2-25)}{(b-5)(b+1)(b-6)}$$

Упростим числитель:

$$b^2-36-b^2+25=-11$$

Теперь выражение примет вид:

$$\frac{-11}{(b-5)(b+1)(b-6)}\cdot (b-6)(b-5)$$

Сократим $(b-6)(b-5)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $b\mathrm{\ne }5$ и $b\mathrm{\ne }6$):

$$\frac{-11}{b+1}$$

Ответ: ${\displaystyle \frac{-<span\; style="font-family:\; Georgia,\; \text{'}Times\; New\; Roman\text{'},\; \text{'}Bitstream\; Charter\text{'},\; Times,\; serif;"> </span>}{}}$${\displaystyle \frac{11}{b+1}}$.