ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 514 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сократите дробь (512–514):

а) $\dfrac{a^2 + b^2 + 2ab — c^2}{a + b + c}$;

б) $\dfrac{x^2 + y^2 — 2xy — c^2}{x^2 — y^2 — c^2 — 2yc}$;

в) $\dfrac{a^3 + ab^2 — 2a^2b}{a^3 — ab^2}$.

а) $\dfrac{a^2 + 2ab + b^2 — c^2}{a + b + c} = \dfrac{(a+b)^2 — c^2}{a + b + c} = \dfrac{(a+b-c)(a+b+c)}{a+b+c} = a + b — c$;

б) ${\displaystyle \frac{x^2+y^2-2xy-c^2}{x^2-y^2-c^2-2yc}}={\displaystyle \frac{x^2-2xy+y^2-c^2}{x^2-(y^2+2yc+c^2)}}={\displaystyle \frac{(x-y{)}^2-c^2}{x^2-(y+c{)}^2}}=$

$\dfrac{x^2 + y^2 — 2xy — c^2}{x^2 — y^2 — c^2 — 2yc} = \dfrac{x^2 — 2xy + y^2 — c^2}{x^2 — (y^2 + 2yc + c^2)} = \dfrac{(x-y)^2 — c^2}{x^2 — (y+c)^2} = \dfrac{(x-y-c)(x-y+c)}{(x-y-c)(x+y+c)} = \dfrac{x-y+c}{x+y+c}$;

в) $\dfrac{a^3 + ab^2 — 2a^2b}{a^3 — ab^2} = \dfrac{a(a^2 — 2ab + b^2)}{a(a^2 — b^2)} = \dfrac{a(a-b)^2}{a(a-b)(a+b)} = \dfrac{a-b}{a+b}$.

а) Рассмотрим дробь:

$$\dfrac{a^2 + 2ab + b^2 — c^2}{a + b + c}$$

Объединим первые три слагаемых числителя:

$$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$$

Таким образом, дробь принимает вид:

$$\dfrac{(a + b)^2 — c^2}{a + b + c}$$

Теперь заметим, что в числителе у нас выражение разности квадратов $(a + b)^2 — c^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)$:

$$\dfrac{(a + b — c)(a + b + c)}{a + b + c}$$

Мы видим, что $(a + b + c)$ встречается и в числителе, и в знаменателе, и можем их сократить при условии, что $a + b + c \neq 0$:

$$\dfrac{a + b — c}{1} = a + b — c$$

Ответ: $a + b — c$.

б) Рассмотрим дробь:

$$\dfrac{x^2 + y^2 — 2xy — c^2}{x^2 — y^2 — c^2 — 2yc}$$

В числителе преобразуем выражение $x^2 + y^2 — 2xy$ как полный квадрат:

$$x^2 + y^2 — 2xy = (x — y)^2$$

Таким образом, числитель можно записать как:

$$(x — y)^2 — c^2$$

В знаменателе преобразуем выражение $x^2 — y^2 — c^2 — 2yc$ следующим образом:

$$x^2 — y^2 — c^2 — 2yc = x^2 — (y^2 + 2yc + c^2)$$

Таким образом, дробь примет вид:

$$\dfrac{(x — y)^2 — c^2}{x^2 — (y + c)^2}$$

В числителе снова разность квадратов, которую можно разложить:

$$\dfrac{(x — y — c)(x — y + c)}{x^2 — (y + c)^2}$$

В знаменателе также разность квадратов $x^2 — (y + c)^2$, которую можно разложить:

$$\dfrac{(x — y — c)(x — y + c)}{(x — y — c)(x + y + c)}$$

Сокращаем $(x — y — c)$ в числителе и знаменателе:

$$\dfrac{x — y + c}{x + y + c}$$

Ответ: $\dfrac{x — y + c}{x + y + c}$.

в) Рассмотрим дробь:

$$\dfrac{a^3 + ab^2 — 2a^2b}{a^3 — ab^2}$$

В числителе можно выделить общий множитель $a$:

$$a^3 + ab^2 — 2a^2b = a(a^2 + b^2 — 2ab)$$

Теперь дробь примет вид:

$$\dfrac{a(a^2 + b^2 — 2ab)}{a^3 — ab^2}$$

В знаменателе можно вынести общий множитель $a$:

$$a^3 — ab^2 = a(a^2 — b^2)$$

Теперь дробь примет вид:

$$\dfrac{a(a^2 + b^2 — 2ab)}{a(a^2 — b^2)}$$

Сокращаем $a$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \neq 0$):

$$\dfrac{a^2 + b^2 — 2ab}{a^2 — b^2}$$

В числителе выражение можно записать как полный квадрат:

$$a^2 + b^2 — 2ab = (a — b)^2$$

Теперь дробь примет вид:

$$\dfrac{(a — b)^2}{(a — b)(a + b)}$$

Сокращаем $(a — b)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \neq b$):

$$\dfrac{a — b}{a + b}$$

Ответ: $\dfrac{a — b}{a + b}$.