ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 512 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сократите дробь (512–514):

а) $\frac{a^3 — b^3}{a^2 — b^2}$;
б) $\frac{a^3 + b^3}{a^2 + 2ab + b^2}$;
в) $\frac{m^4 — n^4}{m^2 — n^2}$;
г) $\frac{a^4 — b^4}{b^2 + a^2}$.

а) $\frac{a^3 — b^3}{a^2 — b^2} = \frac{(a — b)(a^2 + ab + b^2)}{(a — b)(a + b)} = \frac{a^2 + ab + b^2}{a + b}$;

б) $\frac{a^3 + b^3}{a^2 + 2ab + b^2} = \frac{(a + b)(a^2 — ab + b^2)}{(a + b)^2} = \frac{a^2 — ab + b^2}{a + b}$;

в) $\frac{m^4 — n^4}{m^2 — n^2} = \frac{(m^2 — n^2)(m^2 + n^2)}{m^2 — n^2} = m^2 + n^2$;

г) $\frac{a^4 — b^4}{b^2 + a^2} = \frac{(a^2 — b^2)(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2} = a^2 — b^2$.

а) Рассмотрим дробь:

$$\frac{a^3 — b^3}{a^2 — b^2}$$

Для начала применим формулу для разности кубов: $a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)$ и формулу для разности квадратов: $a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)$. Подставляем эти формулы в исходную дробь:

$$\frac{a^3 — b^3}{a^2 — b^2} = \frac{(a — b)(a^2 + ab + b^2)}{(a — b)(a + b)}$$

Теперь сокращаем множители $(a — b)$ в числителе и знаменателе, при условии что $a \neq b$:

$$\frac{a^2 + ab + b^2}{a + b}$$

Ответ: $\frac{a^2 + ab + b^2}{a + b}$.

б) Рассмотрим дробь:

$$\frac{a^3 + b^3}{a^2 + 2ab + b^2}$$

Для начала применим формулу для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)$. Подставляем её в числитель дроби:

$$\frac{a^3 + b^3}{a^2 + 2ab + b^2} = \frac{(a + b)(a^2 — ab + b^2)}{a^2 + 2ab + b^2}$$

Обратите внимание, что в знаменателе мы имеем полное квадратное выражение: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$. Подставляем это в знаменатель:

$$\frac{(a + b)(a^2 — ab + b^2)}{(a + b)^2}$$

Теперь сокращаем $(a + b)$ в числителе и знаменателе, при условии что $a + b \neq 0$:

$$\frac{a^2 — ab + b^2}{a + b}$$

Ответ: $\frac{a^2 — ab + b^2}{a + b}$.

в) Рассмотрим дробь:

$$\frac{m^4 — n^4}{m^2 — n^2}$$

Для начала применим формулу для разности квадратов: $m^4 — n^4 = (m^2 — n^2)(m^2 + n^2)$. Подставляем это в числитель:

$$\frac{m^4 — n^4}{m^2 — n^2} = \frac{(m^2 — n^2)(m^2 + n^2)}{m^2 — n^2}$$

Теперь сокращаем $(m^2 — n^2)$ в числителе и знаменателе, при условии что $m^2 \neq n^2$:

$$m^2 + n^2$$

Ответ: $m^2 + n^2$.

г) Рассмотрим дробь:

$$\frac{a^4 — b^4}{b^2 + a^2}$$

Для начала применим формулу для разности квадратов: $a^4 — b^4 = (a^2 — b^2)(a^2 + b^2)$. Подставляем это в числитель:

$$\frac{a^4 — b^4}{b^2 + a^2} = \frac{(a^2 — b^2)(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2}$$

Теперь сокращаем $(a^2 + b^2)$ в числителе и знаменателе, при условии что $a^2 + b^2 \neq 0$:

$$a^2 — b^2$$

Ответ: $a^2 — b^2$.