ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 511 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

$$\begin{cases} x^4 + y^4 = 32 \\ x^2 + y^2 = 8 \end{cases}$$

Указание. Сделайте замену: $x^2 = a$; $y^2 = b$.

$$\begin{cases} x^4 + y^4 = 32 \\ x^2 + y^2 = 8 \end{cases}$$

1) Пусть $a = x^2$ и $b = y^2$, тогда:

$$\begin{cases} a^2 + b^2 = 32 \\ a + b = 8 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a^2 + b^2 — 32 = 0 \\ b = 8 — a \end{cases};$$

$a^2 + (8 — a)^2 — 32 = 0$;
$a^2 + 64 — 16a + a^2 — 32 = 0$;
$2a^2 — 16a + 32 = 0 \quad | : 2$;
$a^2 — 8a + 16 = 0$;
$(a — 4)^2 = 0$;
$a — 4 = 0$, отсюда $a = 4$;
$b = 8 — 4 = 4$;

2) Вернем замену:
$x = \sqrt{a} = \sqrt{4} = \pm 2$;
$y = \sqrt{b} = \sqrt{4} = \pm 2$;

Ответ: $(-2; -2)$; $(-2; 2)$; $(2; -2)$; $(2; 2)$.

Рассмотрим систему уравнений:

$$\begin{cases} x^4 + y^4 = 32 \\ x^2 + y^2 = 8 \end{cases}$$

Сделаем замену: пусть $a = x^2$ и $b = y^2$, тогда система примет вид:

$$\begin{cases} a^2 + b^2 = 32 \\ a + b = 8 \end{cases}$$

Подставим $b = 8 — a$ из второго уравнения в первое:

$$a^2 + (8 — a)^2 = 32$$

Раскроем скобки:

$$a^2 + (64 — 16a + a^2) = 32$$

Приведем подобные слагаемые:

$$2a^2 — 16a + 64 = 32$$

Переносим все члены на одну сторону:

$$2a^2 — 16a + 32 = 0$$

Разделим обе части на 2:

$$a^2 — 8a + 16 = 0$$

Получаем полный квадрат:

$$(a — 4)^2 = 0$$

1.8) Решение из уравнения:

$$a — 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 4$$

Подставляем найденное значение $a = 4$ в уравнение $b = 8 — a$:

$$b = 8 — 4 = 4$$

Вернем замену: $a = x^2$ и $b = y^2$, тогда:

Для $a = 4$, имеем $x^2 = 4$, отсюда:

$$x = \pm 2$$

Для $b = 4$, имеем $y^2 = 4$, отсюда:

$$y = \pm 2$$

Ответ: $(-2; -2)$; $(-2; 2)$; $(2; -2)$; $(2; 2)$.