ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 510 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите систему уравнений (510–511):

$$\begin{cases} x^3 + y^3 = 35 \\ x + y = 5 \end{cases}$$

Указание. Преобразуйте левую часть первого уравнения, воспользовавшись тождеством $a^3 + b^3 = (a + b)^3 — 3ab(a + b)$.

$$\begin{cases} x^3 + y^3 = 35 \\ x + y = 5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (x + y)^3 — 3xy(x + y) = 35 \\ x + y = 5 \end{cases};$$

$5^3 — 3xy \cdot 5 = 35$;
$125 — 15xy = 35$;
$15xy = 125 — 35$;
$15xy = 90$, отсюда $xy = 6$;

$$\begin{cases} xy = 6 \\ x + y = 5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} xy — 6 = 0 \\ y = 5 — x \end{cases};$$

$x(5 — x) — 6 = 0 \quad | \cdot (-1)$;
$5x — x^2 — 6 = 0$;
$x^2 — 5x + 6 = 0$;
$D = 5^2 — 4 \cdot 5 = 25 — 24 = 1$, тогда:
$x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2$ и $x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$;
$y_1 = 5 — 2 = 3$ и $y_2 = 5 — 3 = 2$;

Ответ: $(2; 3)$ и $(3; 2)$.

$$\begin{cases} x^3 + y^3 = 35 \\ x + y = 5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (x + y)^3 — 3xy(x + y) = 35 \\ x + y = 5 \end{cases};$$

Используем тождество для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)^3 — 3ab(a + b)$. Применяем его к уравнению:

$$x^3 + y^3 = (x + y)^3 — 3xy(x + y)$$

Подставляем значения из системы уравнений. Мы знаем, что $x + y = 5$, поэтому:

$$(x + y)^3 — 3xy(x + y) = 35$$

Подставляем $x + y = 5$:

$$5^3 — 3xy \cdot 5 = 35$$

Вычисляем $5^3$:

$$125 — 15xy = 35$$

Переносим $15xy$ на правую сторону:

$$15xy = 125 — 35$$

Вычитаем:

$$15xy = 90$$

Теперь делим обе части на 15:

$$xy = \frac{90}{15} = 6$$

Теперь у нас есть система:

$$\begin{cases} xy = 6 \\ x + y = 5 \end{cases}$$

Далее решаем эту систему. Из второго уравнения $x + y = 5$ выразим $y$:

$$y = 5 — x$$

Подставляем это выражение для $y$ в первое уравнение $xy = 6$:

$$x(5 — x) = 6$$

Раскрываем скобки:

$$5x — x^2 = 6$$

Переносим все члены на одну сторону:

$$x^2 — 5x + 6 = 0$$

Теперь решаем квадратное уравнение. Для этого вычисляем дискриминант:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$$

Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня:

$$x_1=\frac{-(-5)-\sqrt{1}}{2\cdot 1}=\frac{5-1}{2}=2$$

$$x_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 — 1}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

Теперь находим значения $y$ для каждого $x$. Для $x_1 = 2$:

$$y_1 = 5 — 2 = 3$$

Для $x_2 = 3$:

$$y_2 = 5 — 3 = 2$$

Ответ: $(2; 3)$ и $(3; 2)$.