ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 509 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

$$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=17\\ xy=-2\end{array}$$

Указание. В качестве образца воспользуйтесь примером 2.

$\{\begin{array}{l}{x}^4+y^4=17\\ xy=-2\end{array}$;

$\{\begin{array}{l}{x}^4+2x^2{y}^2+y^4-2x^2{y}^2=17\\ xy=-2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}(x^2+y^2{)}^2-2x^2{y}^2=17\\ xy=-2\end{array}$;

$(x^2+y^2{)}^2-2\cdot (-2{)}^2=17$;

$(x^2+y^2{)}^2-8=17$;

$(x^2+y^2{)}^2=25$;

Значение $x^2+y^2$ не может быть отрицательным, значит:

$x^2+y^2=5$;

Первый способ:

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=5\\ xy=-2\end{array}\mathrm{\mid }\cdot 2\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=5\\ 2xy=-4\end{array}+$;

$x^2+2xy+y^2=5-4$;

$(x+y{)}^2=1$;

$x+y=\pm 1$;

Первая система уравнений:

$\{\begin{array}{l}x+y=-1\\ xy=-2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}y=-1-x\\ xy+2=0\end{array}$;

$x(-1-x)+2=0$;

$-x-x^2+2=0\mathrm{\mid }\cdot (-1)$;

$x^2+x-2=0$;

$D=1^2+4\cdot 2=1+8=9$, тогда:

$x_1=\frac{-1-3}{2}=-2$ и $x_2=\frac{-1+3}{2}=1$;

$y_1=-1+2=1$ и $y_2=-1-1=-2$;

Вторая система уравнений:

$\{\begin{array}{l}x+y=1\\ xy=-2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}y=1-x\\ xy+2=0\end{array}$;

$x(1-x)+2=0$;

$x-x^2+2=0\mathrm{\mid }\cdot (-1)$;

$x^2-x-2=0$;

$D=1^2+4\cdot 2=1+8=9$, тогда:

$x_1=\frac{1-3}{2}=-1$ и $x_2=\frac{1+3}{2}=2$;

$y_1=1+1=2$ и $y_2=1-2=-1$;

Ответ: $(-2;1);(-1;2);(1;-2);(2;-1)$.

Второй способ:

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=5\\ xy=-2\end{array}\mathrm{\mid }\cdot 2\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=5\\ 2xy=-4\end{array}+\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=5\\ -2xy=4\end{array}+$;

$xy=-2$, отсюда $y=-\frac{2}{x}$;

Первая сумма:

$x^2+2xy+y^2=5-4$;

$(x+y{)}^2=1$;

$x+y=\pm 1$;

Вторая сумма:

$x^2-2xy+y^2=5+4$;

$(x-y{)}^2=9$;

$-y=\pm 3$;

Первая система уравнений:

$\{\begin{array}{l}x+y=-1\\ x-y=-3\end{array}+$;

$x+x+y-y=-1-3$;

$2x=-4$, отсюда $x=-2$;

$y=-\frac{2}{-2}=1$;

Вторая система уравнений:

$\{\begin{array}{l}x+y=-1\\ x-y=3\end{array}+$;

$x+x+y-y=-1+3$;

$2x=2$, отсюда $x=1$;

$y=-\frac{2}{1}=-2$;

Третья система уравнений:

$\{\begin{array}{l}x+y=1\\ x-y=-3\end{array}+$;

$x+x+y-y=1-3$;

$2x=-2$, отсюда $x=-1$;

$y=-\frac{2}{-1}=2$;

Четвертая система уравнений:

$\{\begin{array}{l}x+y=1\\ x-y=3\end{array}+$;

$x+x+y-y=1+3$;

$2x=4$, отсюда $x=2$;

$y=-\frac{2}{2}=-1$;

Ответ: $(-2;1);(-1;2);(1;-2);(2;-1)$.

$\{\begin{array}{l}{x}^4+y^4=17\\ xy=-2\end{array}$.

Сначала преобразуем первое уравнение. Используем разложение полного квадрата:

$x^4+y^4=x^4+2x^2{y}^2+y^4-2x^2{y}^2=(x^2+y^2{)}^2-2x^2{y}^2$.

Подставим это в систему:

$\{\begin{array}{l}(x^2+y^2{)}^2-2x^2{y}^2=17\\ xy=-2\end{array}$.

Так как $xy=-2$, возведём это в квадрат: $(xy{)}^2=(-2{)}^2=4$. Тогда $x^2{y}^2=4$.

Подставим: $(x^2+y^2{)}^2-2\cdot 4=17$.

$(x^2+y^2{)}^2-8=17$.

$(x^2+y^2{)}^2=25$.

Корень: $x^2+y^2=\pm 5$. Но сумма квадратов не может быть отрицательной, поэтому остаётся только $x^2+y^2=5$.

Первый способ.

Получаем систему:

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=5\\ xy=-2\end{array}$.

Умножим второе уравнение на 2: $2xy=-4$.

Теперь сложим с первым: $x^2+2xy+y^2=5-4$.

То есть $(x+y{)}^2=1$.

Значит, $x+y=\pm 1$.

Первая система:

$\{\begin{array}{l}x+y=-1\\ xy=-2\end{array}$.

Подставляем: $y=-1-x$.

Тогда: $x(-1-x)=-2$.

$-x-x^2=-2\Rightarrow x^2+x-2=0$.

Дискриминант: $D=1^2+4\cdot 2=9$.

Корни: $x_1=\frac{-1-3}{2}=-2$, $x_2=\frac{-1+3}{2}=1$.

При $x=-2$, $y=-1-(-2)=1$.

При $x=1$, $y=-1-1=-2$.

Вторая система:

$\{\begin{array}{l}x+y=1\\ xy=-2\end{array}$.

Подставляем: $y=1-x$.

Тогда: $x(1-x)=-2$.

$x-x^2=-2\Rightarrow x^2-x-2=0$.

Дискриминант: $D=1^2+4\cdot 2=9$.

Корни: $x_1=\frac{1-3}{2}=-1$, $x_2=\frac{1+3}{2}=2$.

При $x=-1$, $y=1-(-1)=2$.

При $x=2$, $y=1-2=-1$.

Ответ: $(-2;1);(-1;2);(1;-2);(2;-1)$.

Второй способ.

Исходная система:

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=5\\ xy=-2\end{array}$.

Умножим второе уравнение на 2: $2xy=-4$.

Теперь сложим с первым: $x^2+2xy+y^2=5-4$.

Получаем $(x+y{)}^2=1$. То есть $x+y=\pm 1$.

Также можно рассмотреть разность:

$x^2-2xy+y^2=5+4$.

То есть $(x-y{)}^2=9$. Тогда $x-y=\pm 3$.

Таким образом, имеем комбинации:

Первая система: $\{\begin{array}{l}x+y=-1\\ x-y=-3\end{array}$.

Складываем: $2x=-4\Rightarrow x=-2$. Тогда $y=-1-(-2)=1$.

Вторая система: $\{\begin{array}{l}x+y=-1\\ x-y=3\end{array}$.

Складываем: $2x=2\Rightarrow x=1$. Тогда $y=-1-1=-2$.

Третья система: $\{\begin{array}{l}x+y=1\\ x-y=-3\end{array}$.

Складываем: $2x=-2\Rightarrow x=-1$. Тогда $y=1-(-1)=2$.

Четвёртая система: $\{\begin{array}{l}x+y=1\\ x-y=3\end{array}$.

Складываем: $2x=4\Rightarrow x=2$. Тогда $y=1-2=-1$.

Ответ: $(-2;1);(-1;2);(1;-2);(2;-1)$.