ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 508 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите систему уравнений разными способами (508–509):

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 41 \\ xy = 20 \end{cases}$$

Указание. В качестве образца воспользуйтесь примером 1.

1) Первый способ:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 41 \\ xy = 20 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 + y^2 = 41 \\ 2xy = 40 \end{cases};$$

$x^2 — 2xy + y^2 = 41 — 40$;
$(x — y)^2 = 1$;
$x — y = \pm 1$;

Первая система уравнений:

$$\begin{cases} x — y = -1 \\ xy = 20 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = x + 1 \\ xy — 20 = 0 \end{cases};$$

$x(x + 1) — 20 = 0$;
$x^2 + x — 20 = 0$;
$D = 1^2 + 4 \cdot 20 = 1 + 80 = 81$, тогда:
$x_1 = \frac{-1 — 9}{2} = -5$ и $x_2 = \frac{-1 + 9}{2} = 4$;
$y_1 = -5 + 1 = -4$ и $y_2 = 4 + 1 = 5$;

Вторая система уравнений:

$$\begin{cases} x — y = 1 \\ xy = 20 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = x — 1 \\ xy — 20 = 0 \end{cases};$$

$x(x — 1) — 20 = 0$;
$x^2 — x — 20 = 0$;
$D = 1^2 + 4 \cdot 20 = 1 + 80 = 81$, тогда:
$x_1 = \frac{1 — 9}{2} = -4$ и $x_2 = \frac{1 + 9}{2} = 5$;
$y_1 = -4 — 1 = -5$ и $y_2 = 5 — 1 = 4$;

Ответ: $(-5; -4)$; $(-4; -5)$; $(4; 5)$; $(5; 4)$.

2) Второй способ:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 41 \\ xy = 20 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 + y^2 = 41 \\ 2xy = 40 \end{cases};$$

$xy = 20$, отсюда $y = \frac{20}{x}$;

Первая сумма:
$x^2 + 2xy + y^2 = 40 + 41$;
$(x + y)^2 = 81$;
$x + y = \pm 9$;

Вторая сумма:
$x^2 — 2xy + y^2 = 41 — 40$;
$(x — y)^2 = 1$;
$x — y = \pm 1$;

Первая система уравнений:

$$\begin{cases} x + y = -9 \\ x — y = -1 \end{cases};$$

$x + x + y — y = -9 — 1$;
$2x = -10$, отсюда $x = -5$;
$y = \frac{20}{-5} = -4$;

Вторая система уравнений:

$$\begin{cases} x + y = -9 \\ x — y = 1 \end{cases};$$

$x + x + y — y = -9 + 1$;
$2x = -8$, отсюда $x = -4$;
$y = \frac{20}{-4} = 5$;

Третья система уравнений:

$$\begin{cases} x + y = 9 \\ x — y = -1 \end{cases};$$

$x + x + y — y = 9 — 1$;
$2x = 8$, отсюда $x = 4$;
$y = \frac{20}{4} = 5$;

Четвертая система уравнений:

$$\begin{cases} x + y = 9 \\ x — y = 1 \end{cases};$$

$x + x + y — y = 9 + 1$;
$2x = 10$, отсюда $x = 5$;
$y = \frac{20}{5} = 4$;

Ответ: $(-5; -4)$; $(-4; -5)$; $(4; 5)$; $(5; 4)$.

1) Первый способ:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 41 \\ xy = 20 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 + y^2 = 41 \\ 2xy = 40 \end{cases};$$

Теперь рассмотрим уравнение $x^2 — 2xy + y^2 = 41 — 40$:

$$x^2 — 2xy + y^2 = 1$$

Запишем это как полный квадрат:

$$(x — y)^2 = 1$$

Следовательно, $x — y = \pm 1$.

Первая система уравнений:

$$\begin{cases} x — y = -1 \\ xy = 20 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = x + 1 \\ xy — 20 = 0 \end{cases};$$

Подставим $y = x + 1$ в уравнение $xy = 20$:

$$x(x + 1) — 20 = 0$$

Раскроем скобки:

$$x^2 + x — 20 = 0$$

Для решения этого квадратного уравнения используем формулу дискриминанта:

$$D = 1^2 + 4 \cdot 20 = 1 + 80 = 81$$

Так как $D = 81$, у нас есть два корня:

$$x_1 = \frac{-1 — 9}{2} = -5, \quad x_2 = \frac{-1 + 9}{2} = 4$$

Теперь находим соответствующие значения $y$:

$$y_1 = -5 + 1 = -4, \quad y_2 = 4 + 1 = 5$$

Вторая система уравнений:

$$\begin{cases} x — y = 1 \\ xy = 20 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = x — 1 \\ xy — 20 = 0 \end{cases};$$

Подставим $y = x — 1$ в уравнение $xy = 20$:

$$x(x — 1) — 20 = 0$$

Раскроем скобки:

$$x^2 — x — 20 = 0$$

Для решения этого квадратного уравнения снова используем формулу дискриминанта:

$$D = 1^2 + 4 \cdot 20 = 1 + 80 = 81$$

Так как $D = 81$, у нас есть два корня:

$$x_1 = \frac{1 — 9}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{1 + 9}{2} = 5$$

Теперь находим соответствующие значения $y$:

$$y_1 = -4 — 1 = -5, \quad y_2 = 5 — 1 = 4$$

Ответ: $(-5; -4)$; $(-4; -5)$; $(4; 5)$; $(5; 4)$.

2) Второй способ:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 41 \\ xy = 20 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 + y^2 = 41 \\ 2xy = 40 \end{cases};$$

Так как $xy = 20$, отсюда $y = \frac{20}{x}$.

Первая сумма:

$$x^2 + 2xy + y^2 = 40 + 41$$ $$(x + y)^2 = 81$$

Таким образом:

$$x + y = \pm 9$$

Вторая сумма:

$$x^2 — 2xy + y^2 = 41 — 40$$ $$(x — y)^2 = 1$$

Таким образом:

$$x — y = \pm 1$$

Первая система уравнений:

$$\begin{cases} x + y = -9 \\ x — y = -1 \end{cases};$$

Теперь сложим эти два уравнения:

$$(x + y) + (x — y) = -9 — 1$$

Получаем:

$$2x = -10 \quad \Rightarrow \quad x = -5$$

Теперь подставим значение $x = -5$ в одно из уравнений:

$$y = \frac{20}{-5} = -4$$

Вторая система уравнений:

$$\begin{cases} x + y = -9 \\ x — y = 1 \end{cases};$$

Теперь сложим эти два уравнения:

$$(x + y) + (x — y) = -9 + 1$$

Получаем:

$$2x = -8 \quad \Rightarrow \quad x = -4$$

Теперь подставим значение $x = -4$ в одно из уравнений:

$$y = \frac{20}{-4} = 5$$

Третья система уравнений:

$$\begin{cases} x + y = 9 \\ x — y = -1 \end{cases};$$

Теперь сложим эти два уравнения:

$$(x + y) + (x — y) = 9 — 1$$

Получаем:

$$2x = 8 \quad \Rightarrow \quad x = 4$$

Теперь подставим значение $x = 4$ в одно из уравнений:

$$y = \frac{20}{4} = 5$$

Четвертая система уравнений:

$$\begin{cases} x + y = 9 \\ x — y = 1 \end{cases};$$

Теперь сложим эти два уравнения:

$$(x + y) + (x — y) = 9 + 1$$

Получаем:

$$2x = 10 \quad \Rightarrow \quad x = 5$$

Теперь подставим значение $x = 5$ в одно из уравнений:

$$y = \frac{20}{5} = 4$$

Ответ: $(-5; -4)$; $(-4; -5)$; $(4; 5)$; $(5; 4)$.