ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 507 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите значения $b$, при которых точка пересечения прямых $y = 18 — 2x$ и $y = 3x + b$ находится в четвертой четверти.

Прямые $y = 18 — 2x$ и $3x + b$ пересекаются в четвертой четверти, то есть координаты точки пересечения имеют знаки $x > 0$ и $y < 0$:

$$\begin{cases} y = 18 — 2x \\ y = 3x + b \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3y = 54 — 6x \\ 2y = 2b + 6x \end{cases};$$

1) Абсцисса точки пересечения положительна при:
$18 — 2x = 3x + b$;
$3x + 2x = 18 — b$;
$5x = 18 — b$;
$x = \frac{18 — b}{5}$;
$18 — b > 0$;
$-b > -18$, отсюда $b < 18$;

2) Ордината точки пересечения отрицательна при:
$3y + 2y = 54 + 2b — 6x + 6x$;
$5y = 54 + 2b$;
$y = \frac{54 + 2b}{5}$;
$54 + 2b < 0$;
$2b < -54$, отсюда $b < -27$;

3) Пересечение множеств:
$\begin{cases} b < 18 \\ b < -27 \end{cases}$
Ответ: при $b < -27$.

Сначала рассмотрим систему уравнений:

$$\begin{cases} y = 18 — 2x \\ y = 3x + b \end{cases}$$

Нам нужно найти точку пересечения этих прямых. Для этого приравняем правые части обоих уравнений:

$$18 — 2x = 3x + b$$

Переносим все слагаемые с $x$ на одну сторону, а все остальные — на другую:

$$18-2x-3x=b$$

$$18 — 2x — 3x = b$$ $$18 — 5x = b$$

Из этого уравнения выражаем $x$:

$$-5x=b-18$$

$$-5x = b — 18$$ $$x = \frac{18 — b}{5}$$

Теперь анализируем, при каких значениях $b$ абсцисса пересечения будет положительной. Для этого исследуем выражение $x = \frac{18 — b}{5}$. Для того чтобы $x$ было положительным, необходимо, чтобы:

$$18-b>0$$

$$18 — b > 0$$ $$-b>-18$$

$$-b > -18$$ $$b < 18$$

Это означает, что абсцисса точки пересечения будет положительной при $b < 18$.

Теперь рассмотрим ординату точки пересечения. Подставим выражение для $x$ в одно из исходных уравнений. Используем $y = 3x + b$:

$$y = 3\left(\frac{18 — b}{5}\right) + b$$

Раскроем скобки:

$$y=\frac{3(18-b)}{5}+b$$

$$y = \frac{3(18 — b)}{5} + b$$ $$y = \frac{54 — 3b}{5} + b$$

Приведем к общему знаменателю:

$$y=\frac{54-3b+5b}{5}$$

$$y = \frac{54 — 3b + 5b}{5}$$ $$y = \frac{54 + 2b}{5}$$

Для того чтобы ордината была отрицательной, необходимо, чтобы $y < 0$. Это условие можно записать так:

$$\frac{54 + 2b}{5} < 0$$

Умножим обе части на 5 (это не изменит знак неравенства, так как 5 положительно):

$$54+2b<0$$

$$54 + 2b < 0$$ $$2b<-54$$

$$2b < -54$$ $$b < -27$$

Таким образом, ордината точки пересечения будет отрицательной, если $b < -27$.

Теперь объединяем условия:

• Для того чтобы абсцисса точки пересечения была положительной, необходимо, чтобы $b < 18$.
• Для того чтобы ордината точки пересечения была отрицательной, необходимо, чтобы $b < -27$.

Ответ: Прямая пересекает ось $x$ в четвертой четверти при $b < -27$.