ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 506 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

При каких значениях $c$ прямая $x + y = c$ касается окружности $x^2 + y^2 = 2$? пересекает эту окружность в двух точках?

Прямая $x + y = c$ и окружность $x^2 + y^2 = 2$:

$$\begin{cases} x + y = c \\ x^2 + y^2 = 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = c — x \\ x^2 + y^2 — 2 = 0 \end{cases};$$

$x^2 + (c — x)^2 — 2 = 0$;
$x^2 + c^2 — 2cx + x^2 — 2 = 0$;
$2x^2 — 2cx + (c^2 — 2) = 0$;
$D = (2c)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (c^2 — 2) = 4c^2 — 8c^2 + 16 = 16 — 4c^2 = 4(4 — c^2)$;

1) Уравнение имеет одно решение при $D = 0$:
$4(4 — c^2) = 0$;
$4 — c^2 = 0$;
$c^2 = 4$, отсюда $c = \pm 2$;

2) Уравнение имеет два решения при $D > 0$:
$4(4 — c^2) > 0$;
$4 — c^2 > 0$;
$-c^2 > -4$;
$c^2 < 4$, отсюда $|c| < 2$;

Ответ: касается при $c = \pm 2$; пересекает при $-2 < c < 2$.

Прямая $x + y = c$ и окружность $x^2 + y^2 = 2$:

Начнем с того, что решим систему уравнений. Из первого уравнения $x + y = c$ выразим $y$:

$$y = c — x$$

Теперь подставим это выражение для $y$ во второе уравнение $x^2 + y^2 = 2$:

$$x^2 + (c — x)^2 = 2$$

Раскроем скобки в выражении $(c — x)^2$:

$$x^2 + (c^2 — 2cx + x^2) = 2$$

Приведем подобные слагаемые:

$$x^2 + c^2 — 2cx + x^2 = 2$$ $$2x^2 — 2cx + c^2 = 2$$

Переносим все члены на одну сторону:

$$2x^2 — 2cx + (c^2 — 2) = 0$$

Теперь, чтобы выяснить, сколько решений имеет это уравнение, найдем дискриминант $D$. Дискриминант для квадратного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$ равен:

$$D = B^2 — 4AC$$

В нашем случае $A = 2$, $B = -2c$, и $C = c^2 — 2$. Подставляем эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D=(-2c{)}^2-4\cdot 2\cdot (c^2-2)$$

$$D = (-2c)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (c^2 — 2)$$ $$D=4c^2-8(c^2-2)$$

$$D = 4c^2 — 8(c^2 — 2)$$ $$D=4c^2-8c^2+16$$

$$D = 4c^2 — 8c^2 + 16$$ $$D = 16 — 4c^2$$

Уравнение будет иметь решение, если дискриминант $D \geq 0$, так как для $D < 0$ решений нет. Рассмотрим, когда дискриминант равен нулю:

$$16 — 4c^2 = 0$$

Решим это уравнение:

$$4c^2=16$$

$$4c^2 = 16$$ $$c^2=4$$

$$c^2 = 4$$ $$c = \pm 2$$

Когда $c = \pm 2$, дискриминант равен нулю, и уравнение будет иметь один корень.

Теперь исследуем, когда дискриминант больше нуля:

$$16 — 4c^2 > 0$$

Разделим обе части на 4:

$$4 — c^2 > 0$$ $$c^2 < 4$$ $$|c| < 2$$

Таким образом, когда $|c| < 2$, дискриминант будет положительным, и уравнение будет иметь два решения.

Наконец, когда дискриминант меньше нуля:

$$16 — 4c^2 < 0$$ $$c^2 > 4$$ $$|c| > 2$$

В этом случае уравнение не будет иметь решений.

Ответ:

• Уравнение имеет один корень при $c = \pm 2$ (касание окружности).
• Уравнение имеет два корня при $-2 < c < 2$ (пересечение окружности в двух точках).
• Уравнение не имеет решений при $|c| > 2$.