ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 505 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сколько решений может иметь система уравнений

$$\begin{cases} y = 1 — x^2 \\ y = x^3 + c \end{cases}$$

Укажите значения $c$, при которых система имеет одно решение; не имеет решений.

$$\begin{cases} y = 1 — x^2 \\ y = x^2 + c \end{cases}$$

$1 — x^2 = x^2 + c$;
$x^2 + x^2 = 1 — c$;
$2x^2 = 1 — c$;
$x^2 = \frac{1 — c}{2}$, отсюда $x = \sqrt{\frac{1 — c}{2}}$;

1) Уравнение имеет одно решение при:
$\frac{1 — c}{2} = 0$;
$1 — c = 0$, отсюда $c = 1$;

2) Уравнение имеет два решения при:
$\frac{1 — c}{2} > 0$;
$1 — c > 0$;
$-c > -1$, отсюда $c < 1$;

3) Уравнение не имеет решений при:
$\frac{1 — c}{2} < 0$;
$1 — c < 0$;
$-c < -1$, отсюда $c > 1$;

Ответ: 1 решение при $c = 1$; нет решений при $c > 1$.

$$\begin{cases} y = 1 — x^2 \\ y = x^2 + c \end{cases}$$

Чтобы найти возможное количество решений этой системы, приравняем правые части обоих уравнений:

$$1 — x^2 = x^2 + c$$

Переносим все элементы, содержащие $x$, на одну сторону, а все остальные на другую:

$$1 — x^2 — x^2 = c$$ $$1 — 2x^2 = c$$

Теперь из этого уравнения выразим $x^2$:

$$2x^2 = 1 — c$$ $$x^2 = \frac{1 — c}{2}$$

Так как $x^2$ всегда неотрицательно, то из условия $x^2 = \frac{1 — c}{2}$ следует, что выражение $\frac{1 — c}{2}$ должно быть больше или равно нулю, то есть:

$$\frac{1 — c}{2} \geq 0$$

Умножаем обе части неравенства на 2:

$$1 — c \geq 0$$ $$-c \geq -1$$ $$c \leq 1$$

Таким образом, для того чтобы уравнение имело решения, должно выполняться условие $c \leq 1$.

Теперь исследуем количество корней в зависимости от значения $c$:

Когда $c = 1$, мы получаем $x^2 = 0$, что даёт единственное решение $x = 0$. Таким образом, система имеет одно решение при $c = 1$.

Когда $c < 1$, выражение $\frac{1 — c}{2}$ будет положительным, и соответственно $x^2$ также будет положительным, что означает, что у уравнения будут два решения для $x$, одно положительное и одно отрицательное. Таким образом, система имеет два решения при $c < 1$.

Когда $c > 1$, выражение $\frac{1 — c}{2}$ станет отрицательным, и так как $x^2$ не может быть отрицательным, система не будет иметь решений при $c > 1$.

Ответ:
1 решение при $c = 1$;
нет решений при $c > 1$;
2 решения при $c < 1$.