ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 503 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

С помощью графиков выясните, сколько корней может иметь уравнение ($a$ — параметр):

а) $|x| = ax — 1$;
б) $|x| = ax + 2$.

а) $|x| = ax — 1$:

$y = |x|$ — уравнение графика модуля:

$y = ax — 1$ — уравнение прямой:
График пересекает ось $y$ в точке с ординатой $y_0 = -1$;
При $a = -1$, получим функцию $y = -x — 1$:

При $a = 1$, получим функцию $y = x — 1$:

3) Построим графики функций:

Ответ: нет корней при $a \in [-1; 1]$; 1 корень при $|a| > 1$.

б) $|x| = ax + 2$:

$y = |x|$ — уравнение графика модуля:

$y = ax + 2$ — уравнение прямой:
График пересекает ось $y$ в точке с ординатой $y_0 = 2$;
При $a = -1$, получим функцию $y = 2 — x$:

При $a = 1$, получим функцию $y = x + 2$:

3) Построим графики функций:

Ответ: 1 корень при $|a| \geq 1$; 2 корня при $a \in (-1; 1)$.

а) $|x| = ax — 1$:

Рассмотрим функцию $y = |x|$, которая представляет собой график модуля. Модуль функции $|x|$ имеет вид:

$$y = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$$

Таблица значений для функции $y = |x|$:

График этой функции — это угол, образующий две части: одна из них восходящая (при $x \geq 0$), а другая — нисходящая (при $x < 0$).

Теперь рассмотрим прямую $y = ax — 1$. Это линейная функция с угловым коэффициентом $a$ и пересечением с осью $y$ в точке $y_0 = -1$.

При $a = -1$, получаем функцию $y = -x — 1$, которая пересекает ось $y$ в точке $y_0 = -1$ и ось $x$ в точке $x = -1$. Для некоторых значений $x$ эта прямая будет выше, а для других — ниже функции $|x|$.

Таблица значений для функции $y = -x — 1$:

При $a = 1$, получаем функцию $y = x — 1$, которая пересекает ось $y$ в точке $y_0 = -1$ и ось $x$ в точке $x = 1$.

Таблица значений для функции $y = x — 1$:

Построим графики двух функций:

График функции $y = |x|$ будет иметь форму угла.

График функции $y = ax — 1$ будет прямой, угловой коэффициент которой зависит от значения $a$.

Мы видим, что:

При $a = -1$ график прямой будет пересекаться с графиком модуля в одной точке.

При $a = 1$ график прямой также пересечется с графиком модуля в одной точке.

При $a \in (-1; 1)$ график прямой будет пересекаться с графиком модуля в двух точках, но при $a = 0$ графики не пересекаются.

При $|a| > 1$ график прямой будет пересекаться с графиком модуля в одной точке.

Ответ: Уравнение имеет 0 корней при $a \in [-1; 1]$; 1 корень при $|a| > 1$.

б) $|x| = ax + 2$:

Рассмотрим функцию $y = |x|$, которая, как и в предыдущем случае, имеет форму угла. Мы можем записать её как:

$$y = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$$

Таблица значений для функции $y = |x|$:

Теперь рассмотрим прямую $y = ax + 2$. Это линейная функция с угловым коэффициентом $a$ и пересечением с осью $y$ в точке $y_0 = 2$.

При $a = -1$, получаем функцию $y = 2 — x$, которая пересекает ось $y$ в точке $y_0 = 2$ и ось $x$ в точке $x = 2$.

Таблица значений для функции $y = 2 — x$:

При $a = 1$, получаем функцию $y = x + 2$, которая пересекает ось $y$ в точке $y_0 = 2$ и ось $x$ в точке $x = -2$.

Таблица значений для функции $y = x + 2$:

Построим графики двух функций:

• График функции $y = |x|$ будет иметь форму угла.
• График функции $y = ax + 2$ будет прямой, угловой коэффициент которой зависит от значения $a$.

Мы видим, что:

• При $a = -1$, график прямой $y = 2 — x$ пересекает график модуля в одной точке.
• При $a = 1$, график прямой $y = x + 2$ также пересекает график модуля в одной точке.
• При $a \in (-1; 1)$ график прямой будет пересекаться с графиком модуля в двух точках.
• При $|a| \geq 1$, график прямой будет пересекаться с графиком модуля в одной точке.

Ответ: Уравнение имеет 1 корень при $|a| \geq 1$; 2 корня при $a \in (-1; 1)$.