ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 502 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

При каких значениях $c$ данное уравнение имеет два корня; имеет два корня разных знаков:

а) $x^2 — 12x + c = 0$;
б) $x^2 + cx — 4 = 0$;
в) $2x^2 + cx + 2 = 0$.

а) $x^2 — 12x + c = 0$:
$D = 12^2 — 4c = 144 — 4c = 4(36 — c)$;
$x = \frac{12 \pm \sqrt{4(36 — c)}}{2} = \frac{12 \pm 2\sqrt{36 — c}}{2} = 6 \pm \sqrt{36 — c}$;

1) Уравнение имеет два корня при $D > 0$:
$4(36 — c) > 0$;
$36 — c > 0$;
$-c > -36$;
$c < 36$;

2) Уравнение имеет корни разных знаков при:
$\sqrt{36 — c} > 6$;
$36 — c > 36$;
$-c > 0$;
$c < 0$;

Ответ: при $c < 36$; при $c < 0$.

б) $x^2 + cx — 4 = 0$:
$D = c^2 + 4 \cdot 4 = c^2 + 16$;
$x = \frac{-c \pm \sqrt{c^2 + 16}}{2} = -\frac{c \pm \sqrt{c^2 + 16}}{2}$;

1) Уравнение имеет два корня при $D > 0$:
$c^2 + 16 > 0$ — верно при любом значении $c$;

2) Уравнение имеет корни разных знаков при:
$\sqrt{c^2 + 16} > c$;
$c^2 + 16 > c^2$;
$c^2 — c^2 > -16$;
$0c^2 > -16$ — верно при любом значении $c$;

Ответ: при любом значении $c$.

в) $2x^2 + cx + 2 = 0$:
$D = c^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = c^2 — 16$;
$x = \frac{-c \pm \sqrt{c^2 — 16}}{2 \cdot 2} = \frac{-c \pm \sqrt{c^2 — 16}}{4}$;

1) Уравнение имеет два корня при $D > 0$:
$c^2 — 16 > 0$;
$c^2 > 16$;
$|c| > 4$;

2) Уравнение имеет корни разных знаков при:
$\sqrt{c^2 — 16} > c$;
$c^2 — 16 > c^2$;
$c^2 — c^2 > 16$;
$0c^2 > 16$ — решений нет;

Ответ: при $|c| > 4$; ни при каких значениях $c$.

а) $x^2 — 12x + c = 0$:

Для нахождения корней данного уравнения, найдем дискриминант $D$. Дискриминант квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac$$

В нашем случае $a = 1$, $b = -12$, и $c = c$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = (-12)^2 — 4 \cdot 1 \cdot c = 144 — 4c$$

Таким образом, дискриминант:

$$D = 144 — 4c = 4(36 — c)$$

Уравнение будет иметь два корня при $D > 0$, что означает, что дискриминант должен быть положительным. Для этого должно выполняться неравенство:

$$4(36 — c) > 0$$

Это неравенство выполняется, если $36 — c > 0$, что дает:

$$c < 36$$

Таким образом, уравнение будет иметь два корня при $c < 36$.

Уравнение будет иметь два корня разных знаков, если сумма корней имеет противоположные знаки. Это можно проверить, исследовав значение корней. Мы знаем, что корни уравнения с положительным дискриминантом имеют вид:

$$x = 6 \pm \sqrt{36 — c}$$

Чтобы корни имели разные знаки, необходимо, чтобы один из корней был положительным, а другой отрицательным. Это произойдет, если:

$$\sqrt{36 — c} > 6$$

Преобразуем неравенство:

$$36 — c > 36$$ $$-c > 0$$ $$c < 0$$

Ответ: уравнение имеет два корня при $c < 36$, а два корня разных знаков при $c < 0$.

б) $x^2 + cx — 4 = 0$:

Для данного уравнения найдем дискриминант $D$. Дискриминант для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac$$

Здесь $a = 1$, $b = c$, $c = -4$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = c^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = c^2 + 16$$

Уравнение будет иметь два корня, если дискриминант $D > 0$. Однако, так как $D = c^2 + 16$ всегда больше нуля для всех значений $c$ (так как $c^2 \geq 0$ и $16 > 0$), то уравнение всегда имеет два корня для любого значения $c$.

Теперь, чтобы выяснить, при каких значениях $c$ уравнение имеет два корня разных знаков, рассмотрим следующие корни уравнения, которые выражаются как:

$$x = \frac{-c \pm \sqrt{c^2 + 16}}{2}$$

Для того чтобы корни имели разные знаки, необходимо, чтобы их произведение было отрицательным. Мы знаем, что произведение корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ равно $\frac{c}{a}$. В нашем случае это будет:

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{-4}{1} = -4$$

Произведение корней уже отрицательно, следовательно, корни будут иметь разные знаки при любом значении $c$.

Ответ: уравнение имеет два корня при любом значении $c$, и корни будут разных знаков при любом $c$.

в) $2x^2 + cx + 2 = 0$:

Для данного уравнения найдем дискриминант $D$. Дискриминант для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac$$

Здесь $a = 2$, $b = c$, $c = 2$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = c^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = c^2 — 16$$

Уравнение будет иметь два корня при $D > 0$. Это условие выполняется, если:

$$c^2 — 16 > 0$$

Преобразуем неравенство:

$$c^2 > 16$$

Это неравенство выполняется, если $|c| > 4$. Таким образом, уравнение имеет два корня при $|c| > 4$.

Для того чтобы корни уравнения были разных знаков, необходимо, чтобы произведение корней было отрицательным. Произведение корней квадратного уравнения $2x^2 + cx + 2 = 0$ равно $\frac{c}{2}$. Для того чтобы корни имели разные знаки, необходимо, чтобы:

$$\frac{c}{2} < 0$$

Таким образом, $c < 0$. Однако, для уравнения с положительным дискриминантом, корни будут разных знаков, если $|c| > 4$, а при $c < 0$ уравнение не имеет корней с положительным дискриминантом.

Ответ: уравнение имеет два корня при $|c| > 4$, и корней разных знаков не существует при данных значениях $c$.