ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 501 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что при любых значениях $a$ уравнение имеет хотя бы один корень:

а) $x^2 — 5ax + 6a^2 = 0$;
б) $(x + a)(x — a) = 1 — 2a$.

а) $x^2 — 5ax + 6a^2 = 0$:
$D = (5a)^2 — 4 \cdot 6a^2 = 25a^2 — 24a^2 = a^2$;
Уравнение имеет хотя бы один корень при $D \geq 0$:
$a^2 \geq 0$ — верно при любом значении $a$;

б) $(x + a)(x — a) = 1 — 2a$:
$x^2 — a^2 = 1 — 2a$;
$x^2 = a^2 — 2a + 1$;
$x^2 = (a — 1)^2$;
Так как $x^2 \geq 0$ и $(a — 1)^2 \geq 0$, то:
$x = \pm(a — 1)$ — корни есть при любом значении $a$.

а) $x^2 — 5ax + 6a^2 = 0$:

Для начала найдем дискриминант $D$ для данного квадратного уравнения. Дискриминант вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 1$, $b = -5a$, $c = 6a^2$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = (-5a)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6a^2 = 25a^2 — 24a^2 = a^2$$

Мы видим, что дискриминант $D = a^2$. Уравнение имеет хотя бы один корень, если дискриминант $D \geq 0$. Поскольку $a^2 \geq 0$ для любого значения $a$ (так как квадрат любого числа всегда неотрицателен), то дискриминант всегда неотрицателен. Это означает, что уравнение всегда имеет хотя бы один корень.

Ответ: Уравнение имеет хотя бы один корень при любом значении $a$.

б) $(x + a)(x — a) = 1 — 2a$:

Раскроем скобки с левой стороны уравнения:

$$(x + a)(x — a) = x^2 — a^2$$

Теперь подставим это в исходное уравнение:

$$x^2 — a^2 = 1 — 2a$$

Переносим все члены на одну сторону:

$$x^2 = a^2 — 2a + 1$$

Замечаем, что правая часть уравнения является полным квадратом:

$$x^2 = (a — 1)^2$$

Теперь анализируем полученное уравнение $x^2 = (a — 1)^2$. Поскольку квадрат любого числа всегда неотрицателен, то:

$$x^2 \geq 0 \quad \text{и} \quad (a — 1)^2 \geq 0$$

Таким образом, уравнение $x^2 = (a — 1)^2$ всегда имеет два корня, так как для любого $a$ выражение $(a — 1)^2$ всегда определено и неотрицательно. Корни будут равны:

$$x = \pm (a — 1)$$

Ответ: Уравнение имеет корни для любого значения $a$, и эти корни равны $x = \pm (a — 1)$.