ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 500 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Выясните, при каких значениях $a$ уравнение имеет два корня:

а) $ax^2 — (a + 1)x + 1 = 0$;
б) $ax^2 — (a^2 + 4)x + 4a = 0$.

а) $ax^2 — (a + 1)x + 1 = 0$:
$D = (a + 1)^2 — 4a = a^2 + 2a + 1 — 4a = a^2 — 2a + 1 = (a — 1)^2$;

1) Пусть $a = 0$, тогда:
$0 \cdot x^2 — (0 + 1)x + 1 = 0$;
$-x + 1 = 0$ — линейное уравнение имеет лишь один корень;

2) Уравнение имеет один корень при $D = 0$:
$(a — 1)^2 = 0$;
$a — 1 = 0$, отсюда $a = 1$;

3) Уравнение имеет два корня при $D > 0$:
$(a — 1)^2 > 0$ — верно при любых значениях $a$;

Ответ: уравнение имеет два корня при $a \neq 0$ и $a \neq 1$.

б) $ax^2 — (a^2 + 4)x + 4a = 0$:

1) Пусть $a = 0$, тогда:
$0 \cdot x^2 — (0^2 + 4)x + 4 \cdot 0 = 0$;
$-4x = 0$, отсюда $x = 0$;

2) Пусть $a \neq 0$, тогда:
$ax^2 — a^2x — 4x + 4a = 0$;
$ax(x — a) — 4(x — a) = 0$;
$(ax — 4)(x — a) = 0$, тогда:
$x_1 — a = 0$, отсюда $x_1 = a$;
$ax_2 — 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad ax_2 = 4$, отсюда $x_2 = \frac{4}{a}$;

3) Уравнение имеет один корень при $x_1 = x_2$:
$a = \frac{4}{a}$;
$a^2 = 4$, отсюда $a = \pm 2$;

Ответ: уравнение имеет два корня при $a \neq 0$ и $a \neq \pm 2$.

а) $ax^2 — (a + 1)x + 1 = 0$:

Рассмотрим дискриминант $D$ для данного квадратного уравнения. Он равен:

$$D = (a + 1)^2 — 4a = a^2 + 2a + 1 — 4a = a^2 — 2a + 1 = (a — 1)^2$$

Дискриминант $D$ зависит от значения $a$. Рассмотрим различные случаи:

Пусть $a = 0$. Подставим $a = 0$ в исходное уравнение:

$$0 \cdot x^2 — (0 + 1)x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad -x + 1 = 0$$

Это линейное уравнение с одним корнем $x = 1$, так как оно имеет форму $-x = -1$, откуда $x = 1$. Таким образом, при $a = 0$ уравнение имеет только один корень.

Уравнение имеет один корень, если дискриминант $D = 0$. Мы видим, что дискриминант равен $D = (a — 1)^2$, и чтобы он был равен нулю, необходимо, чтобы:

$$(a — 1)^2 = 0$$

Из этого следует, что $a — 1 = 0$, а значит $a = 1$. Таким образом, при $a = 1$ уравнение также имеет только один корень, так как дискриминант равен нулю.

Уравнение имеет два корня, если дискриминант $D > 0$. Для того чтобы дискриминант был больше нуля, необходимо, чтобы:

$$(a — 1)^2 > 0$$

Это неравенство выполняется при любых значениях $a$, кроме $a = 1$, так как квадрат любого числа, кроме нуля, всегда положителен. Следовательно, при $a \neq 1$ уравнение имеет два корня.

Ответ: уравнение имеет два корня при $a \neq 0$ и $a \neq 1$.

б) $ax^2 — (a^2 + 4)x + 4a = 0$:

Пусть $a = 0$. Подставим $a = 0$ в исходное уравнение:

$$0 \cdot x^2 — (0^2 + 4)x + 4 \cdot 0 = 0 \quad \Rightarrow \quad -4x = 0$$

Решаем это уравнение:

$$x = 0$$

Это линейное уравнение, и его единственный корень — $x = 0$.

Пусть $a \neq 0$. Подставим $a \neq 0$ в исходное уравнение:

$$ax^2 — a^2x — 4x + 4a = 0$$

Группируем подобные слагаемые:

$$ax(x — a) — 4(x — a) = 0$$

Вынесем общий множитель $(x — a)$:

$$(x — a)(ax — 4) = 0$$

Таким образом, у нас два уравнения:

$x — a = 0$, отсюда $x_1 = a$,

$ax — 4 = 0$, отсюда $x_2 = \frac{4}{a}$.

Теперь найдём, при каких значениях $a$ у нас будет один корень. Уравнение имеет один корень, если $x_1 = x_2$, то есть:

$$a = \frac{4}{a}$$

Умножим обе части на $a$ (при $a \neq 0$):

$$a^2 = 4$$

Отсюда $a = \pm 2$. Таким образом, при $a = 2$ или $a = -2$ уравнение имеет один корень.

Ответ: уравнение имеет два корня при $a \neq 0$ и $a \neq \pm 2$.