ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 499 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение с переменной $x$:

а) $(m — 1)x = m^2 — 1$;
б) $(c — 2)x = c + 2$;
в) $(2 — a)x = a^2 — 4$;
г) $(b^2 — 1)x = b + 1$.

а) $(m — 1)x = m^2 — 1$:

1) Пусть $m — 1 = 0$, отсюда $m = 1$, тогда:
$0x = 1^2 — 1$;
$0x = 0$ — верно при любом значении $x$;

2) Пусть $m — 1 \neq 0$, отсюда $m \neq 1$, тогда:
$(m — 1)x = (m — 1)(m + 1)$;
$x = m + 1$;

Ответ:
если $m = 1$, то корнем уравнения является любое число;
если $m \neq 1$, то уравнение имеет единственный корень $x = m + 1$.

б) $(c — 2)x = c + 2$:

1) Пусть $c — 2 = 0$, отсюда $c = 2$, тогда:
$0x = 2 + 2$;
$0x = 4$ — неверно ни при каких значениях $x$;

2) Пусть $c — 2 \neq 0$, отсюда $c \neq 2$, тогда:
$x = \frac{c + 2}{c — 2}$;

Ответ:
если $c = 2$, то уравнение не имеет корней;
если $c \neq 2$, то уравнение имеет единственный корень $x = \frac{c + 2}{c — 2}$.

в) $(2 — a)x = a^2 — 4$:

1) Пусть $2 — a = 0$, отсюда $a = 2$, тогда:
$0x = 2^2 — 4$;
$0x = 0$ — верно при любом значении $x$;

2) Пусть $2 — a \neq 0$, отсюда $a \neq 2$, тогда:
$(2 — a)x = (a — 2)(a + 2)$;
$(2 — a)x = -(2 — a)(a + 2)$;
$x = -(a + 2)$;

Ответ:
если $a = 2$, то корнем уравнения является любое число;
если $a \neq 2$, то уравнение имеет единственный корень $x = -(a + 2)$.

г) $(b^2 — 1)x = b + 1$:

1) Пусть $b^2 — 1 = 0$, отсюда $b = \pm 1$, тогда:
$0x = -1 + 1 \Rightarrow 0x = 0$ — верно при любом значении $x$;
$0x = 1 + 1 \Rightarrow 0x = 2$ — неверно ни при каких значениях $x$;

2) Пусть $b^2 — 1 \neq 0$, отсюда $b \neq \pm 1$, тогда:
$(b — 1)(b + 1)x = b + 1$;
$x = \frac{1}{b — 1}$;

Ответ:
если $b = -1$, то корнем уравнения является любое число;
если $b = 1$, то уравнение не имеет корней;
если $b \neq \pm 1$, то уравнение имеет единственный корень $x = \frac{1}{b — 1}$.

а) $(m — 1)x = m^2 — 1$:

Пусть $m — 1 = 0$, отсюда $m = 1$. Подставляем $m = 1$ в исходное уравнение:

$$(m — 1)x = m^2 — 1 \quad \Rightarrow \quad (1 — 1)x = 1^2 — 1 \quad \Rightarrow \quad 0x = 0$$

Получаем $0x = 0$, что верно при любом значении $x$. Это означает, что если $m = 1$, уравнение не имеет ограничения на значение $x$, и его корнем является любое число. То есть, при $m = 1$, уравнение имеет бесконечно много корней.

Пусть $m — 1 \neq 0$, отсюда $m \neq 1$. Разделим обе части уравнения $(m — 1)x = m^2 — 1$ на $(m — 1)$, так как $m \neq 1$, и получим:

$$x = \frac{m^2 — 1}{m — 1}$$

Заметим, что $m^2 — 1$ — это разность квадратов, которую можно разложить:

$$x = \frac{(m — 1)(m + 1)}{m — 1}$$

Так как $m — 1 \neq 0$, можно сократить $(m — 1)$ в числителе и знаменателе:

$$x = m + 1$$

Ответ:
Если $m = 1$, то корнем уравнения является любое число.
Если $m \neq 1$, то уравнение имеет единственный корень $x = m + 1$.

б) $(c — 2)x = c + 2$:

Пусть $c — 2 = 0$, отсюда $c = 2$. Подставляем $c = 2$ в исходное уравнение:

$$(c — 2)x = c + 2 \quad \Rightarrow \quad (2 — 2)x = 2 + 2 \quad \Rightarrow \quad 0x = 4$$

Получаем $0x = 4$, что неверно ни при каких значениях $x$, так как $0$ не может быть равно $4$. Это означает, что если $c = 2$, уравнение не имеет корней.

Пусть $c — 2 \neq 0$, отсюда $c \neq 2$. Разделим обе части уравнения $(c — 2)x = c + 2$ на $(c — 2)$, так как $c \neq 2$, и получим:

$$x = \frac{c + 2}{c — 2}$$

Ответ:
Если $c = 2$, то уравнение не имеет корней.
Если $c \neq 2$, то уравнение имеет единственный корень $x = \frac{c + 2}{c — 2}$.

в) $(2 — a)x = a^2 — 4$:

Пусть $2 — a = 0$, отсюда $a = 2$. Подставляем $a = 2$ в исходное уравнение:

$$(2 — a)x = a^2 — 4 \quad \Rightarrow \quad (2 — 2)x = 2^2 — 4 \quad \Rightarrow \quad 0x = 0$$

Получаем $0x = 0$, что верно при любом значении $x$. Это означает, что если $a = 2$, уравнение не имеет ограничения на значение $x$, и его корнем является любое число. То есть, при $a = 2$, уравнение имеет бесконечно много корней.

Пусть $2 — a \neq 0$, отсюда $a \neq 2$. Разделим обе части уравнения $(2 — a)x = a^2 — 4$ на $(2 — a)$, так как $a \neq 2$, и получим:

$$x = \frac{a^2 — 4}{2 — a}$$

Разложим $a^2 — 4$ на разность квадратов:

$$x = \frac{(a — 2)(a + 2)}{2 — a}$$

Так как $2 — a = -(a — 2)$, то можем упростить выражение:

$$x = \frac{-(a — 2)(a + 2)}{a — 2} = -(a + 2)$$

Ответ:
Если $a = 2$, то корнем уравнения является любое число.
Если $a \neq 2$, то уравнение имеет единственный корень $x = -(a + 2)$.

г) $(b^2 — 1)x = b + 1$:

Пусть $b^2 — 1 = 0$, отсюда $b = \pm 1$. Подставляем $b = 1$ в исходное уравнение:

$$(b^2 — 1)x = b + 1 \quad \Rightarrow \quad (1^2 — 1)x = 1 + 1 \quad \Rightarrow \quad 0x = 2$$

Получаем $0x = 2$, что неверно ни при каких значениях $x$. Подставляем $b = -1$ в исходное уравнение:

$$(b^2 — 1)x = b + 1 \quad \Rightarrow \quad ((-1)^2 — 1)x = -1 + 1 \quad \Rightarrow \quad 0x = 0$$

Получаем $0x = 0$, что верно при любом значении $x$. Это означает, что если $b = -1$, то корнем уравнения является любое число.

Пусть $b^2 — 1 \neq 0$, отсюда $b \neq \pm 1$. Разделим обе части уравнения $(b^2 — 1)x = b + 1$ на $(b^2 — 1)$, так как $b \neq \pm 1$, и получим:

$$x = \frac{b + 1}{b^2 — 1}$$

Разложим $b^2 — 1$ на разность квадратов:

$$x = \frac{b + 1}{(b — 1)(b + 1)}$$

Сократим $b + 1$ в числителе и знаменателе:

$$x = \frac{1}{b — 1}$$

Ответ:
Если $b = -1$, то корнем уравнения является любое число.
Если $b = 1$, то уравнение не имеет корней.
Если $b \neq \pm 1$, то уравнение имеет единственный корень $x = \frac{1}{b — 1}$.