ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 498 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

С помощью графиков определите количество корней уравнения

$x^2 — 4x — \sqrt{x} + 4 = 0$

. Найдите приближённое значение большего корня с двумя знаками после запятой.

$x^2-4x-\sqrt{x}+4=0$;
$x^2-4x+4=\sqrt{x}$;
$(x-2{)}^2=\sqrt{x}$;

$\mathrm{1)\; y}=(x-2{)}^2$ — уравнение параболы:
$x_0=2$ и $y_0=0$;

$\mathrm{2)\; y}=\sqrt{x}$ — уравнение ветви параболы:

Графики пересекаются в двух точках;

3) Найдем промежуток, в котором лежит больший корень:
$(3-2{)}^2=1$ и $\sqrt{3}\approx 1,7$;
$(3,5-2{)}^2\approx 2,3$ и $\sqrt{3,5}\approx 1,9$;
$(3,3-2{)}^2\approx 1,7$ и $\sqrt{1,7}\approx 1,3$;
$(3,4-2{)}^2\approx 2$ и $\sqrt{3,4}\approx 1,8$;
$3,3<x_2<3,4$;

Ответ: 2 корня; $x_2\approx 3,35$.

Уравнение $x^2-4x-\sqrt{x}+4=0$ можно преобразовать в следующее:

$$x^2-4x+4=\sqrt{x}$$

и затем:

$$(x-2{)}^2=\sqrt{x}$$

Таким образом, задача сводится к нахождению пересечений графиков двух функций: $y=(x-2{)}^2$ и $y=\sqrt{x}$.

Рассмотрим первую функцию $y=(x-2{)}^2$:

Это уравнение представляет собой параболу, направленную вверх. Вершина параболы находится в точке $(2;0)$, так как при $x=2$, значение функции будет равно нулю. Парабола возрастает для $x>2$ и убывает для $x<2$, что обусловлено положительным коэффициентом при $x^2$.

Таблица значений для функции $y=(x-2{)}^2$:

Рассмотрим вторую функцию $y=\sqrt{x}$:

Это уравнение представляет собой ветвь параболы, направленную вверх, которая существует только для $x\ge 0$, так как квадратный корень из отрицательных чисел не существует в области действительных чисел. Эта функция возрастает на интервале $x\ge 0$, так как её производная $\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ положительна для $x>0$.

Таблица значений для функции $y=\sqrt{x}$:

Теперь анализируем схематическое пересечение графиков:

График функции $y=(x-2{)}^2$ — это парабола, которая пересекает ось $x$ в точке $x=2$, а функция $y=\sqrt{x}$ начинается с точки $(0;0)$ и возрастает на всем интервале $x\ge 0$.

Поскольку обе функции возрастают, то на графиках будет два пересечения. Это подтверждается тем, что на таблице значений и визуально на графике видно, что функции пересекаются дважды.

Чтобы найти приближённые значения корней, исследуем интервал, в котором они находятся.

Для $x=3$, значение $y=(3-2{)}^2=1$ и $y=\sqrt{3}\approx 1,732$. Поскольку $1\mathrm{\ne }1,732$, корень не находится в точке $x=3$.

Для $x=3,5$, значение $y=(3,5-2{)}^2\approx 2,25$ и $y=\sqrt{3,5}\approx 1,87$. Поскольку $2,25\mathrm{\ne }1,87$, корень не находится в точке $x=3,5$.

Для $x=3,3$, значение $y=(3,3-2{)}^2\approx 1,69$ и $y=\sqrt{3,3}\approx 1,81$. Поскольку $1,69\mathrm{\ne }1,81$, корень не находится в точке $x=3,3$.

Для $x=3,4$, значение $y=(3,4-2{)}^2=2,56$ и $y=\sqrt{3,4}\approx 1,84$. Поскольку $2,56\mathrm{\ne }1,84$, корень не находится в точке $x=3,4$.

После проведённого анализа и уточнения значений видно, что корень находится в интервале $3,3<x_2<3,4$.

Приближённое значение большего корня находится в районе $x_2\approx 3,35$.

Ответ: 2 корня; $x_2\approx 3,35$.