ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 497 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Используя схематические графики, определите, сколько корней имеет уравнение; укажите два последовательных целых числа, между которыми находятся корни уравнения:

а) $\sqrt{x} = x — 500$;
б) $\sqrt{x} = 100 — x^2$.

а) $\sqrt{x} = x — 500$:

$y = \sqrt{x}$ — уравнение ветви параболы:
$a > 0$, значит функция возрастает;
Вершина находится в точке $(0; 0)$;

$y = x — 500$ — уравнение прямой:
$a > 0$, значит функция возрастает;
Пересекает ось $x$ в точке с абсциссой $x_0 = 500$;
Пересекает ось $y$ в точке с ординатой $y_0 = -500$;

3) Схематический рисунок:

Графики пересекаются в одной точке;

4) Найдем промежуток, в котором лежит корень:
$\sqrt{500} \approx 22,3$ и $500 — 500 = 0$;
$\sqrt{510} \approx 22,6$ и $510 — 500 = 10$;
$\sqrt{520} \approx 22,8$ и $520 — 500 = 20$;
$\sqrt{530} \approx 23$ и $530 — 500 = 30$;
$\sqrt{521} \approx 22,8$ и $521 — 500 = 21$;
$\sqrt{522} \approx 22,8$ и $522 — 500 = 22$;
$\sqrt{523} \approx 22,9$ и $523 — 500 = 23$;

Ответ: 1 корень; $522 < x < 523$.

б) $\sqrt{x} = 100 — x^2$:

$y = \sqrt{x}$ — уравнение ветви параболы:
$a > 0$, значит функция возрастает;
Вершина находится в точке $(0; 0)$;

$y = 100 — x^2$ — уравнение прямой:
$a > 0$, значит функция возрастает;
Вершина находится в точке $(0; 100)$;
Пересекает ось $x$ в точках с абсциссами $x_0 = \pm 10$;
Пересекает ось $y$ в точке с ординатой $y_0 = 100$;

3) Схематический рисунок:

Графики пересекаются в одной точке;

4) Найдем промежуток, в котором лежит корень:
$\sqrt{1} = 1$ и $100 — 1^2 = 99$;
$\sqrt{10} \approx 3,2$ и $100 — 10^2 = 0$;
$\sqrt{9} = 3$ и $100 — 9^2 = 19$;

Ответ: 1 корень; $9 < x < 10$.

а) $\sqrt{x} = x — 500$:

$y = \sqrt{x}$ — уравнение ветви параболы:

Функция $y = \sqrt{x}$ представляет собой ветвь параболы, которая определена для $x \geq 0$. Эта функция возрастает, так как её производная $\frac{d}{dx} \sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ положительна при $x > 0$.

Вершина параболы находится в точке $(0; 0)$, так как $\sqrt{0} = 0$.

$y = x — 500$ — уравнение прямой:

Уравнение $y = x — 500$ представляет собой прямую с угловым коэффициентом $1$, что означает, что прямая возрастает, поскольку её производная $\frac{d}{dx}(x — 500) = 1$.

Прямая пересекает ось $x$ в точке $x_0 = 500$, так как при $y = 0$ получаем $0 = x — 500$, следовательно, $x = 500$.

Прямая пересекает ось $y$ в точке $y_0 = -500$, так как при $x = 0$ получаем $y = 0 — 500 = -500$.

3) Схематический рисунок:

График функции $y = \sqrt{x}$ будет представлять собой плавно возрастающую кривую, начинающуюся в точке $(0; 0)$, а график прямой $y = x — 500$ — это прямая с углом наклона 45° и пересечением с осью $y$ в точке $y = -500$.

Графики пересекаются в одной точке, так как уравнение $\sqrt{x} = x — 500$ имеет решение.

4) Найдем промежуток, в котором лежит корень:

Для $x = 500$, значение функции $\sqrt{x} \approx 22,3$ и $x — 500 = 0$; очевидно, что на этом промежутке функции равны.

Для $x = 510$, значение $\sqrt{510} \approx 22,6$ и $510 — 500 = 10$; функции не равны.

Для $x = 520$, значение $\sqrt{520} \approx 22,8$ и $520 — 500 = 20$; функции не равны.

Для $x = 530$, значение $\sqrt{530} \approx 23$ и $530 — 500 = 30$; функции не равны.

Для $x = 521$, значение $\sqrt{521} \approx 22,8$ и $521 — 500 = 21$; функции не равны.

Для $x = 522$, значение $\sqrt{522} \approx 22,8$ и $522 — 500 = 22$; функции не равны.

Для $x = 523$, значение $\sqrt{523} \approx 22,9$ и $523 — 500 = 23$; функции не равны.

Ответ: 1 корень; $522 < x < 523$.

б) $\sqrt{x} = 100 — x^2$:

$y = \sqrt{x}$ — уравнение ветви параболы:

Функция $y = \sqrt{x}$ также представляет собой ветвь параболы, которая определяется для $x \geq 0$ и возрастает, так как её производная $\frac{d}{dx} \sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ положительна при $x > 0$.

Вершина параболы находится в точке $(0; 0)$, так как $\sqrt{0} = 0$.

$y = 100 — x^2$ — уравнение параболы:

Это уравнение параболы, направленной вниз, с вершиной в точке $(0; 100)$, так как при $x = 0$ получаем $y = 100$.

Парабола пересекает ось $x$ в точках с абсциссами $x_0 = \pm 10$, так как при $y = 0$ получаем $0 = 100 — x^2$, следовательно, $x^2 = 100$, то есть $x = \pm 10$.

Парабола пересекает ось $y$ в точке $y_0 = 100$.

3) Схематический рисунок:

График функции $y = \sqrt{x}$ представляет собой возрастающую кривую, начинающуюся в точке $(0; 0)$.

График функции $y = 100 — x^2$ — это парабола, направленная вниз, с вершиной в точке $(0; 100)$.

Графики этих функций пересекаются в одной точке.

4) Найдем промежуток, в котором лежит корень:

Для $x = 1$, значение $\sqrt{1} = 1$ и $100 — 1^2 = 99$; функции не равны.

Для $x = 10$, значение $\sqrt{10} \approx 3,2$ и $100 — 10^2 = 0$; функции не равны.

Для $x = 9$, значение $\sqrt{9} = 3$ и $100 — 9^2 = 19$; функции не равны.

Ответ: 1 корень; $9 < x < 10$.