ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 496 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Выберите из данных промежутков:
$[1; 2], \, [1; 1,5], \, [1,5; 2], \, [1; 1,2], \, [1,2; 1,5]$
те промежутки, которым принадлежит корень уравнения $x^3 = 4 — x^2$.

$x^3 = 4 — x^2$;
Функции: $f(x) = x^3$ и $g(x) = 4 — x^2$;

Определим значение функций при граничных значениях аргумента:
$f(1) = 1^3 = 1$;
$g(1) = 4 — 1^2 = 3$;
$f(1,2) = 1,2^3 = 1,728$;
$g(1,2) = 4 — 1,2^2 = 4 — 1,44 = 2,56$;
$f(1,5) = 1,5^3 = 3,375$;
$g(1,5) = 4 — 1,5^2 = 4 — 2,25 = 1,75$;
$f(2) = 2^3 = 8$;
$g(2) = 4 — 2^2 = 4 — 4 = 0$;

1) Промежуток $[1; 2]$:
$f(1) < g(1)$ и $f(2) > g(2)$;
Значит $x \in [1; 2]$;

2) Промежуток $[1; 1,5]$:
$f(1) < g(1)$ и $f(1,5) > g(1,5)$;
Значит $x \in [1; 1,5]$;

3) Промежуток $[1,5; 2]$:
$f(1,5) > g(1,5)$ и $f(2) > g(2)$;
Значит $x \notin [1,5; 2]$;

4) Промежуток $[1; 1,2]$:
$f(1) \leq g(1)$ и $f(1,2) < g(1,2)$;
Значит $x \notin [1; 1,2]$;

5) Промежуток $[1,2; 1,5]$:
$f(1,2) < g(1,2)$ и $f(1,5) > g(1,5)$;
Значит $x \in [1,2; 1,5]$;

Ответ: $[1; 2]$, $[1; 1,5]$, $[1,2; 1,5]$.

1) Уравнение $x^3 = 4 — x^2$ представляет собой задачу о нахождении корней функции $f(x) = x^3$ и $g(x) = 4 — x^2$. Для нахождения корней нам необходимо анализировать пересечение графиков этих функций. Начнем с определения значений этих функций при граничных точках интервалов.

2) Для промежутка $[1; 2]$:

• Для $x = 1$, значение функции $f(1) = 1^3 = 1$ и $g(1) = 4 — 1^2 = 3$. Здесь $f(1) < g(1)$.
• Для $x = 2$, значение функции $f(2) = 2^3 = 8$ и $g(2) = 4 — 2^2 = 0$. Здесь $f(2) > g(2)$.

Так как на концах промежутка значения функций меняют порядок (сначала $f(1) < g(1)$, а затем $f(2) > g(2)$), это означает, что корень уравнения $f(x) = g(x)$ находится в этом промежутке. Таким образом, $x \in [1; 2]$.

3) Для промежутка $[1; 1,5]$:

• Для $x = 1$, значение функции $f(1) = 1$ и $g(1) = 3$, то есть $f(1) < g(1)$.
• Для $x = 1,5$, значение функции $f(1,5) = 1,5^3 = 3,375$ и $g(1,5) = 4 — 1,5^2 = 4 — 2,25 = 1,75$. Здесь $f(1,5) > g(1,5)$.

Так как на концах промежутка функции также меняют порядок (сначала $f(1) < g(1)$, а затем $f(1,5) > g(1,5)$), это также указывает на наличие корня уравнения $f(x) = g(x)$ в этом промежутке. Таким образом, $x \in [1; 1,5]$.

4) Для промежутка $[1,5; 2]$:

• Для $x = 1,5$, значение функции $f(1,5) = 3,375$ и $g(1,5) = 1,75$, то есть $f(1,5) > g(1,5)$.
• Для $x = 2$, значение функции $f(2) = 8$ и $g(2) = 0$, то есть $f(2) > g(2)$.

Так как на концах промежутка значения обеих функций больше, и порядок не меняется (то есть $f(1,5) > g(1,5)$ и $f(2) > g(2)$), мы можем заключить, что корень уравнения $f(x) = g(x)$ не находится в этом промежутке. Таким образом, $x \notin [1,5; 2]$.

5) Для промежутка $[1; 1,2]$:

• Для $x = 1$, значение функции $f(1) = 1$ и $g(1) = 3$, то есть $f(1) < g(1)$.
• Для $x = 1,2$, значение функции $f(1,2) = 1,2^3 = 1,728$ и $g(1,2) = 4 — 1,2^2 = 4 — 1,44 = 2,56$, то есть $f(1,2) < g(1,2)$.

Так как на концах промежутка значения функций не меняют свой порядок (сначала $f(1) < g(1)$ и затем $f(1,2) < g(1,2)$), это указывает на отсутствие корня уравнения $f(x) = g(x)$ в этом промежутке. Таким образом, $x \notin [1; 1,2]$.

6) Для промежутка $[1,2; 1,5]$:

• Для $x = 1,2$, значение функции $f(1,2) = 1,728$ и $g(1,2) = 2,56$, то есть $f(1,2) < g(1,2)$.
• Для $x = 1,5$, значение функции $f(1,5) = 3,375$ и $g(1,5) = 1,75$, то есть $f(1,5) > g(1,5)$.

Так как на концах промежутка значения функций меняют порядок (сначала $f(1,2) < g(1,2)$, а затем $f(1,5) > g(1,5)$), это также указывает на наличие корня уравнения $f(x) = g(x)$ в этом промежутке. Таким образом, $x \in [1,2; 1,5]$.

Ответ: $[1; 2]$, $[1; 1,5]$, $[1,2; 1,5]$.