ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 492 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

С помощью графиков определите, сколько корней имеет уравнение; для каждого корня укажите два целых числа, между которыми он находится:

а) $\frac{1}{x} = x^2 — 4$;

б) $x^3 — x — 9 = 0$.

а) $\frac{1}{x} = x^2 — 4$:

$y = \frac{1}{x}$ — уравнение гиперболы:

$y = x^2 — 4$ — уравнение параболы:
$x_0 = 0$ и $y_0 = -4$;

Ответ: $x_1 \in [2; 3]$; $x_2 \in [-2; -1]$; $x_3 \in [-1; 0]$.

а) $\frac{1}{x} = x^2 — 4$:

Уравнение $y = \frac{1}{x}$ представляет собой гиперболу. Для построения графика функции подставим различные значения $x$ в уравнение и вычислим соответствующие значения $y$:

Мы видим, что график функции $y = \frac{1}{x}$ является гиперболой, которая имеет асимптоты $y = 0$ и $x = 0$. График функции имеет два ответвления, одно в верхней части и одно в нижней. Эта гипербола пересекает ось $y$ в точке, где $x = 0$, но в этой точке функция не определена.

Уравнение $y = x^2 — 4$ представляет собой параболу. Для построения графика этой функции подставим различные значения $x$ в уравнение и вычислим соответствующие значения $y$:

График функции $y = x^2 — 4$ — это парабола, которая открывается вверх и имеет вершину в точке $(0, -4)$. Парабола пересекает ось $y$ в точке $y = -4$, и пересекает ось $x$ в точках, где $y = 0$, то есть в точках $x = -2$ и $x = 2$.

Теперь решим уравнение $\frac{1}{x} = x^2 — 4$. Чтобы найти корни уравнения, приравняем графики двух функций, то есть найдём точки пересечения гиперболы $y = \frac{1}{x}$ и параболы $y = x^2 — 4$. Для этого решим уравнение:

$$\frac{1}{x} = x^2 — 4.$$

Умножим обе части уравнения на $x$ (при условии, что $x \neq 0$):

$$1 = x^3 — 4x.$$

Переносим все слагаемые в одну сторону:

$$x^3 — 4x — 1 = 0.$$

Теперь нужно решить это кубическое уравнение. Визуально на графиках видно, что у уравнения есть три корня: один положительный и два отрицательных. Примерное расположение корней можно определить как:

• Первый корень находится в интервале $[-2; -1]$, это корень около $-1.5$;
• Второй корень находится в интервале $[2; 3]$, это корень около $2.5$;
• Третий корень находится в интервале $[-1; 0]$, это корень около $-0.5$.

Ответ: $x_1 \in [2; 3]$; $x_2 \in [-2; -1]$; $x_3 \in [-1; 0]$.