ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 490 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Действуем по алгоритму. С помощью графиков определите, сколько корней имеет уравнение, и найдите эти корни:

а) $x^2 = 1,5x + 1$;

б) $x^3 + x — 2 = 0$;

в) $x^2 + \frac{8}{x} — 1 = 0$.

а) $x^2 = 1,5x + 1$:

$y = x^2$ — уравнение параболы:
$x_0 = 0$ и $y_0 = 0$;

$y = 1,5x + 1$ — уравнение прямой:

Уравнение имеет два корня: $x \approx -0,5$ и $x = 2$;

б) $x^3 + x — 2 = 0$:
$x^3 = 2 — x$;

$y = x^3$ — уравнение кубической параболы:

$y = 2 — x$ — уравнение прямой:

Уравнение имеет один корень: $x = 1$;

в) $x^2 + \frac{8}{x} — 1 = 0$:
$x^2 — 1 = -\frac{8}{x}$;

$y = x^2 — 1$ — уравнение параболы:
$x_0 = 0$ и $y_0 = -1$;

$y = -\frac{8}{x}$ — уравнение гиперболы:
$x_0 = 0$ и $y_0 = 0$;

Уравнение имеет один корень: $x \approx -2,2$.

а) $x^2 = 1,5x + 1$:

Для начала решим уравнение $x^2 = 1,5x + 1$. Переносим все элементы в одну сторону:

$$x^2 — 1,5x — 1 = 0.$$

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта. В стандартной форме $ax^2 + bx + c = 0$, коэффициенты:

$$a = 1, \quad b = -1,5, \quad c = -1.$$

Найдем дискриминант $D$:

$$D = b^2 — 4ac = (-1,5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 2,25 + 4 = 6,25.$$

Дискриминант положительный, значит, у уравнения два действительных корня. Найдем их по формуле:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1,5) \pm \sqrt{6,25}}{2 \cdot 1} = \frac{1,5 \pm 2,5}{2}.$$

Таким образом, получаем два корня:

$$x_1 = \frac{1,5 + 2,5}{2} = \frac{4}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{1,5 — 2,5}{2} = \frac{-1}{2} = -0,5.$$

Корни уравнения: $x = 2$ и $x = -0,5$.

б) $x^3 + x — 2 = 0$:

Теперь решим уравнение $x^3 + x — 2 = 0$. Для начала перенесем все слагаемые в одну сторону:

$$x^3 + x — 2 = 0.$$

Попробуем применить метод подбора корней. Подставим несколько значений для $x$:

Подставим $x = 1$:

$$1^3 + 1 — 2 = 1 + 1 — 2 = 0.$$

Таким образом, $x = 1$ является корнем уравнения.

Чтобы найти другие корни, разделим исходное уравнение $x^3 + x — 2$ на $x — 1$ с помощью деления многочленов.

Для деления $x^3 + x — 2$ на $x — 1$ используем схематическое деление:

$$x^3 + 0x^2 + x — 2 \div (x — 1).$$

Шаги деления:

Разделим $x^3$ на $x$, получаем $x^2$.

Умножим $x^2$ на $x — 1$, получаем $x^3 — x^2$.

Вычитаем $(x^3 — x^2)$ из $x^3 + 0x^2 + x — 2$, получаем $x^2 + x — 2$.

Разделим $x^2$ на $x$, получаем $x$.

Умножим $x$ на $x — 1$, получаем $x^2 — x$.

Вычитаем $(x^2 — x)$ из $x^2 + x — 2$, получаем $2x — 2$.

Разделим $2x$ на $x$, получаем $2$.

Умножим $2$ на $x — 1$, получаем $2x — 2$.

Вычитаем $(2x — 2)$ из $2x — 2$, получаем остаток 0.

Таким образом, $x^3 + x — 2$ делится на $x — 1$, и результат деления — это:

$$x^2 + x + 2.$$

Теперь решим квадратное уравнение $x^2 + x + 2 = 0$. Для этого найдем дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 — 8 = -7.$$

Так как дискриминант отрицателен, у этого уравнения нет действительных корней. Таким образом, $x = 1$ — единственный действительный корень уравнения $x^3 + x — 2 = 0$.

в) $x^2 + \frac{8}{x} — 1 = 0$:

Для решения уравнения $x^2 + \frac{8}{x} — 1 = 0$ умножим обе части уравнения на $x$ (при этом $x \neq 0$):

$$x^3 + 8 — x = 0.$$

Переносим все слагаемые в одну сторону:

$$x^3 — x + 8 = 0.$$

Теперь применим метод подбора. Подставим несколько значений для $x$:

Подставим $x = -2$:

$$(-2)^3 — (-2) + 8 = -8 + 2 + 8 = 2.$$

Значит, $x = -2$ не является корнем.

Подставим $x = -1$:

$$(-1)^3 — (-1) + 8 = -1 + 1 + 8 = 8.$$

Значит, $x = -1$ не является корнем.

Попробуем более сложные методы для нахождения корней, например, численный метод или метод Ньютона, чтобы найти приближенные корни.