ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 489 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1) Графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 2x — 6$ пересекаются в точке $(4; 2)$. Найдите:

корень уравнения $\sqrt{x} = 2x — 6$;

2) решение системы уравнений:

$$\begin{cases} y = \sqrt{x} \\ y = 2x — 6 \end{cases}.$$

Графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 2x — 6$ пересекаются в точке (4; 2).

1) Корнем уравнения $\sqrt{x} = 2x — 6$ является только абсцисса точки пересечения графиков: $x = 4$;

2) Решением системы уравнений

$$\begin{cases} y = \sqrt{x} \\ y = 2x — 6 \end{cases}$$

являются абсцисса и ордината точки пересечения графиков: $x = 4$ и $y = 2$;

1) Дано уравнение $\sqrt{x} = 2x — 6$. Чтобы решить это уравнение, сначала избавимся от квадратного корня, возведя обе части уравнения в квадрат. Начнем с того, что:

$$\left( \sqrt{x} \right)^2 = \left( 2x — 6 \right)^2.$$

Левая часть уравнения даёт просто $x$, так как квадрат корня из $x$ равен $x$. Правая часть даёт следующее:

$$\left( 2x — 6 \right)^2 = (2x)^2 — 2 \cdot 2x \cdot 6 + 6^2 = 4x^2 — 24x + 36.$$

Таким образом, уравнение примет вид:

$$x = 4x^2 — 24x + 36.$$

Переносим все слагаемые в одну сторону, чтобы привести уравнение к стандартному виду:

$$0 = 4x^2 — 24x + 36 — x.$$

Упростим:

$$0 = 4x^2 — 25x + 36.$$

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, дискриминант $D$ рассчитывается по формуле:

$$D = b^2 — 4ac.$$

В нашем уравнении $a = 4$, $b = -25$, $c = 36$. Подставляем эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = (-25)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 36 = 625 — 576 = 49.$$

Дискриминант равен $49$, что является полным квадратом. Это означает, что у уравнения есть два действительных корня. Найдем их с помощью формулы корней квадратного уравнения:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставим значения $b = -25$, $D = 49$, и $a = 4$:

$$x_1=\frac{-(-25)-\sqrt{49}}{2\cdot 4}=\frac{25-7}{8}=\frac{18}{8}=2.25,$$

$$x_1 = \frac{-(-25) — \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{25 — 7}{8} = \frac{18}{8} = 2.25,$$ $$x_2 = \frac{-(-25) + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{25 + 7}{8} = \frac{32}{8} = 4.$$

Таким образом, мы получаем два корня: $x = 2.25$ и $x = 4$.

Проверим, какой из них является действительным корнем. Подставим $x = 2.25$ в исходное уравнение:

$$\sqrt{2.25} = 2 \cdot 2.25 — 6 \quad \Rightarrow \quad 1.5 = 4.5 — 6 \quad \Rightarrow \quad 1.5 = -1.5,$$

что является ложным. Следовательно, $x = 2.25$ не является решением уравнения.

Теперь проверим $x = 4$:

$$\sqrt{4} = 2 \cdot 4 — 6 \quad \Rightarrow \quad 2 = 8 — 6 \quad \Rightarrow \quad 2 = 2,$$

что является верным. Таким образом, корень уравнения $\sqrt{x} = 2x — 6$ равен $x = 4$.

2) Рассмотрим систему уравнений:

$$\begin{cases} y = \sqrt{x} \\ y = 2x — 6 \end{cases}$$

Для того чтобы найти решение этой системы, приравняем обе функции, так как в обоих уравнениях $y$ выражается через $x$. Получим:

$$\sqrt{x} = 2x — 6.$$

Это уравнение эквивалентно уравнению, которое мы решали в первой части. Мы уже знаем, что его решение — $x = 4$. Подставим это значение в одно из уравнений системы, например, во второе:

$$y = 2 \cdot 4 — 6 = 8 — 6 = 2.$$

Таким образом, решение системы уравнений: $x = 4$, $y = 2$.