ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 488 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Запишите уравнения вида f(х) = g(x), графические решения которых приведены на рисунке 3.22, а, б. В каждом случае найдите корни уравнения.

$f(x) = x^3$ и $g(x) = \frac{1}{x}$;

В указанном виде: $x^3 = \frac{1}{x}$;

Корни уравнения: $-1$; $1$;

$f(x) = x^2$ и $g(x) = \frac{1}{2}x + 3$;

В указанном виде: $x^2 = \frac{1}{2}x + 3$;

Корни уравнения: $-1.5$; $2$;

$f(x) = x^3$ и $g(x) = \frac{1}{x}$;

Дано уравнение $f(x) = g(x)$, то есть:

$$x^3 = \frac{1}{x}.$$

Чтобы решить это уравнение, умножим обе части на $x$, чтобы избавиться от дроби:

$$x^4 = 1.$$

Теперь, чтобы найти корни, нужно решить уравнение $x^4 = 1$. Это уравнение имеет четыре корня, но из контекста задачи очевидно, что мы ищем только действительные корни. Решая $x^4 = 1$, получаем:

$$x = \pm 1.$$

Таким образом, корни уравнения $x^3 = \frac{1}{x}$ — это $x = -1$ и $x = 1$.

$f(x) = x^2$ и $g(x) = \frac{1}{2}x + 3$;

Теперь решим уравнение:

$$f(x) = g(x),$$

что можно записать как:

$$x^2 = \frac{1}{2}x + 3.$$

Переносим все выражения в одну сторону уравнения:

$$x^2 — \frac{1}{2}x — 3 = 0.$$

Для удобства умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:

$$2x^2 — x — 6 = 0.$$

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. В квадратном уравнении $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac.$$

Для уравнения $2x^2 — x — 6 = 0$ коэффициенты: $a = 2$, $b = -1$, $c = -6$. Подставляем в формулу для дискриминанта:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49.$$

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два действительных корня. Найдем их с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставляем значения $b = -1$, $D = 49$, и $a = 2$:

$$x_1=\frac{-(-1)-\sqrt{49}}{2\cdot 2}=\frac{1-7}{4}=\frac{-6}{4}=-1.5,$$

$$x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 — 7}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5,$$ $$x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 7}{4} = \frac{8}{4} = 2.$$

Таким образом, корни уравнения $x^2 = \frac{1}{2}x + 3$ — это $x = -1.5$ и $x = 2$.