ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 486 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда, если площадь его поверхности равна $148 \, \text{см}^2$, а высота на $1 \, \text{см}$ меньше длины и на $2 \, \text{см}$ меньше ширины.

1) Пусть $a \, \text{см}$ — длина, $b \, \text{см}$ — ширина, и $h \, \text{см}$ — высота прямоугольного параллелепипеда;

2) Площадь его поверхности равна $148 \, \text{см}^2$, значит:

$$2ab+2ah+2bh=148;$$

$$2ab + 2ah + 2bh = 148;$$ $$2(ab+ah+bh)=148;$$

$$2(ab + ah + bh) = 148;$$ $$ab + ah + bh = 74;$$

3) Высота на $1 \, \text{см}$ меньше длины и на $2 \, \text{см}$ меньше ширины, значит:

$$a — h = 1 \quad \text{и} \quad b — h = 2;$$

4) Составим и решим систему уравнений:

$$\{\begin{array}{l}ab+ah+bh=74\\ a=h+1\\ b=h+2\end{array}\Rightarrow (h+1)(h+2)+h(h+1)+h(h+2)=74;$$

$$\begin{cases} ab + ah + bh = 74 \\ a = h + 1 \\ b = h + 2 \end{cases} \Rightarrow (h + 1)(h + 2) + h(h + 1) + h(h + 2) = 74;$$ $$2+h+2h+h^2+h+h^2+2h+h^2-74=0;$$

$$2 + h + 2h + h^2 + h + h^2 + 2h + h^2 — 74 = 0;$$ $$3h^2+6h-72=0\mathrm{\mid }:3;$$

$$3h^2 + 6h — 72 = 0 \quad | : 3;$$ $$h^2+2h-24=0;$$

$$h^2 + 2h — 24 = 0;$$ $$D=2^2+4\cdot 24=4+96=100,\text{тогда:}$$

$$D = 2^2 + 4 \cdot 24 = 4 + 96 = 100, \quad \text{тогда:}$$ $$h_1 = \frac{-2 — 10}{2} = -6 \quad \text{и} \quad h_2 = \frac{-2 + 10}{2} = 4;$$

5) Высота не может быть отрицательной:

$$h \neq -6, \quad \text{значит } h = 4 \, (\text{см});$$

Тогда $a = h + 1 = 4 + 1 = 5 \, (\text{см})$ и $b = h + 2 = 4 + 2 = 6 \, (\text{см})$;

Ответ: $5 \, \text{см}$; $6 \, \text{см}$; $4 \, \text{см}$.

Пусть $a \, \text{см}$ — длина, $b \, \text{см}$ — ширина, и $h \, \text{см}$ — высота прямоугольного параллелепипеда. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

$$S = 2ab + 2ah + 2bh.$$

Здесь, $2ab$ — площадь двух прямоугольных сторон с размерами $a$ и $b$, $2ah$ — площадь двух сторон с размерами $a$ и $h$, и $2bh$ — площадь двух сторон с размерами $b$ и $h$.

Площадь его поверхности равна $148 \, \text{см}^2$, значит:

$$2ab + 2ah + 2bh = 148.$$

Делим обе части на 2:

$$ab + ah + bh = 74.$$

Это уравнение отражает сумму площадей всех сторон прямоугольного параллелепипеда.

Высота на $1 \, \text{см}$ меньше длины и на $2 \, \text{см}$ меньше ширины, значит:

$$a — h = 1 \quad \text{и} \quad b — h = 2.$$

Из этих уравнений видно, что высота $h$ меньше длины $a$ на 1 см и меньше ширины $b$ на 2 см.

Составим и решим систему уравнений. Подставим выражения для $a$ и $b$ через $h$ в уравнение $ab + ah + bh = 74$. Из уравнений $a — h = 1$ и $b — h = 2$ получаем:

$$a = h + 1 \quad \text{и} \quad b = h + 2.$$

Подставляем их в исходную систему:

$$\begin{cases} ab + ah + bh = 74 \\ a = h + 1 \\ b = h + 2 \end{cases} \Rightarrow (h + 1)(h + 2) + h(h + 1) + h(h + 2) = 74.$$

Теперь раскроем скобки:

$$(h + 1)(h + 2) = h^2 + 3h + 2,$$ $$h(h + 1) = h^2 + h,$$ $$h(h + 2) = h^2 + 2h.$$

Теперь подставим все эти выражения в уравнение:

$$h^2 + 3h + 2 + h^2 + h + h^2 + 2h = 74.$$

Собираем похожие слагаемые:

$$3h^2 + 6h + 2 = 74.$$

Вычитаем 74 из обеих частей:

$$3h^2 + 6h — 72 = 0.$$

Делим обе части на 3:

$$h^2 + 2h — 24 = 0.$$

Рассчитаем дискриминант $D$ для уравнения $h^2 + 2h — 24 = 0$:

$$D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100.$$

Дискриминант равен 100, что является полным квадратом, и можно найти корни уравнения с помощью формулы:

$$h_1=\frac{-2-10}{2}=\frac{-12}{2}=-6,$$

$$h_1 = \frac{-2 — 10}{2} = \frac{-12}{2} = -6,$$ $$h_2 = \frac{-2 + 10}{2} = \frac{8}{2} = 4.$$

Высота не может быть отрицательной:

$$h \neq -6, \quad \text{значит } h = 4 \, (\text{см}).$$

Значит, высота прямоугольного параллелепипеда равна $h = 4 \, \text{см}$.

Теперь, используя $h = 4 \, \text{см}$, находим $a$ и $b$:

$$a = h + 1 = 4 + 1 = 5 \, (\text{см}),$$ $$b = h + 2 = 4 + 2 = 6 \, (\text{см}).$$

Ответ: $a = 5 \, \text{см}$, $b = 6 \, \text{см}$, $h = 4 \, \text{см}$.