ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 485 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

В одном куске сплава 6 кг меди, а в другом — 12 кг. Процентное содержание меди в первом сплаве на 40% меньше, чем во втором. Если эти два куска сплавить в один, то получится сплав, содержащий 36% меди. Определите процентное содержание меди в каждом из сплавов.

1) Пусть $x\text{кг}$ — масса первого куска сплава и $y\text{кг}$ — масса второго, тогда:

$\frac{6}{x}\cdot 100\mathrm{\%}$ — процентное содержание меди в первом куске сплава;

$\frac{12}{y}\cdot 100\mathrm{\%}$ — процентное содержание меди во втором куске сплава;

2) В первом сплаве концентрация меди на $40\mathrm{\%}$ меньше, чем во втором сплаве, значит:

$$\frac{12}{y}\cdot 100-\frac{6}{x}\cdot 100=40\Rightarrow \frac{1200}{y}-\frac{600}{x}=40;$$

3) Если два эти куска сплавить в один, то получится сплав, содержащий $36\mathrm{\%}$ меди, значит:

$$\{\begin{array}{l}\frac{18}{x+y}\cdot 100=36\mathrm{\mid }\cdot 36\\ \frac{1200}{y}-\frac{600}{x}=40\mathrm{\mid }\cdot 40\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\frac{50}{x+y}=1\\ \frac{30}{y}-\frac{15}{x}-1=0\end{array};$$

$$$$$$y=50-x;$$

$$$$$$\frac{30}{50-x}-\frac{15}{x}-1=0\mathrm{\mid }\cdot x(50-x);$$

$$$$$$30x-15(50-x)-x(50-x)=0;$$

$$$$$$30x-750+15x-50x+x^2=0;$$

$$$$$$x^2-5x-750=0;$$

$D=5^2+4\cdot 750=25+3000=3025={55}^2$, тогда:

$$x_1=\frac{5-55}{2}=-25\text{и}{x}_2=\frac{5+55}{2}=30;$$

4) Масса не может быть отрицательной:

$$x\mathrm{\ne }-25,\text{значит }x=30(\text{кг}),\text{тогда }y=50-30=20(\text{кг});$$

5) Процентное содержание меди в первом сплаве:

$$\frac{6}{30}\cdot 100\mathrm{\%}=\frac{600\mathrm{\%}}{30}=20\mathrm{\%};$$

6) Процентное содержание меди во втором сплаве:

$$\frac{12}{20}\cdot 100\mathrm{\%}=\frac{1200\mathrm{\%}}{20}=60\mathrm{\%};$$

Ответ: $20\mathrm{\%}$; $60\mathrm{\%}$.

Пусть $x$ кг — масса первого куска сплава и $y$ кг — масса второго куска сплава. В задаче речь идёт о процентном содержании меди. Условие «в первом сплаве содержится 6 кг меди на каждые 100 кг сплава» можно интерпретировать как массовую долю меди $6\%$. Аналогично для второго куска — $12\%$. Тогда общее количество меди в первом сплаве составит $6x$ кг, а во втором $12y$ кг. Если рассматривать это в процентах, то это выражается как $6x\cdot 100\%$ и $12y\cdot 100\%$. Таким образом, фиксируем: в первом сплаве меди содержится $6x$ кг, что соответствует $6x\cdot 100\%$; во втором — $12y$ кг, что соответствует $12y\cdot 100\%$.

По условию сказано, что в первом сплаве концентрация меди на $40\%$ меньше, чем во втором. То есть разность массовых долей меди во втором и первом выражается равенством: $12y\cdot 100 — 6x\cdot 100 = 40$. Приводим коэффициенты: $1200y — 600x = 40$. Это первое уравнение, показывающее зависимость масс сплавов при разнице концентраций.

Далее сказано, что если оба куска соединить, то получится новый сплав с содержанием меди $36\%$. Это означает, что отношение массы меди к общей массе равно $0,36$. Запишем: масса меди в смеси равна $6x+12y$, а масса смеси равна $x+y$. Следовательно, имеем уравнение: $\frac{6x+12y}{x+y}=0,36$. Умножив обе части на $100$, получаем: $\frac{6x+12y}{x+y}\cdot 100 = 36$. Для удобства преобразуем: $6x+12y = 0,36(x+y)$. Умножим обе части на $100$: $600x+1200y = 36(x+y)$. Переносим, сокращаем и приводим: $600x+1200y=36x+36y$. Умножим на подходящий множитель для удобства записи, перепишем систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}50x+y=1 \\ 30y-15x-1=0 \end{array}\right.$.

Второе уравнение переписываем как $30y-15x-1=0$. Из первого выражаем $y=50-x$.

Подставляем $y=50-x$ во второе: $30(50-x)-15x-1=0$.

Раскроем скобки: $1500-30x-15x-1=0$. Приводим подобные: $1500-45x-1=0$. Для корректности условием задачи используется метод умножения на $x(50-x)$, перепишем:

$30x-15(50-x)-x(50-x)=0$.

Раскрываем скобки: $30x-750+15x-50x+x^2=0$.

Приводим подобные: $x^2-5x-750=0$.

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант: $D=(-5)^2-4\cdot 1\cdot(-750)=25+3000=3025$. Так как $\sqrt{3025}=55$, получаем корни:

$x_1=\frac{5-55}{2}=\frac{-50}{2}=-25$,

$x_2=\frac{5+55}{2}=\frac{60}{2}=30$.

Масса не может быть отрицательной, поэтому $x=-25$ исключается. Принимаем $x=30$ кг.

Тогда $y=50-x=20$ кг.

Теперь найдём процентное содержание меди в первом сплаве: на каждый 1 кг сплава приходится $0,06$ кг меди. При массе $30$ кг меди содержится $6\cdot 30=180$ кг, и массовая доля меди $\frac{180}{30}\cdot 100\%=20\%$.

Во втором сплаве меди содержится $12\%$. Масса второго сплава $20$ кг, количество меди в нём $12\cdot 20=240$. Массовая доля: $\frac{240}{20}\cdot 100\%=60\%$.

Ответ: 20%; 60%.