ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 484 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Соединили два раствора одной и той же кислоты разной концентрации и получили 10 кг нового раствора данной кислоты. Концентрация первого раствора (т. е. процентное содержание кислоты) на 10% больше концентрации второго раствора. Определите массу каждого раствора, если в первом содержалось 0,8 кг кислоты, а во втором — 0,6 кг. Определите процентное содержание кислоты в каждом растворе.

1) Пусть $x \, \text{кг}$ — масса первого раствора и $y \, \text{кг}$ — масса второго, тогда:

$\frac{0.8}{x} \cdot 100\%$ — концентрация первого раствора;

$\frac{0.6}{y} \cdot 100\%$ — концентрация второго раствора;

2) После смешивания получили $10 \, \text{кг}$ нового раствора, значит:

$$x + y = 10;$$

3) Концентрация первого раствора на $10\%$ больше концентрации второго раствора, значит:

$$\{\begin{array}{l}\frac{0.8}{x}\cdot 100-\frac{0.6}{y}\cdot 100=10\mathrm{\mid }\cdot 10\\ x+y=10\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\frac{8}{x}-\frac{6}{y}-1=0\\ y=10-x\end{array};$$

$$\begin{cases} \frac{0.8}{x} \cdot 100 — \frac{0.6}{y} \cdot 100 = 10 \quad | \cdot 10 \\ x + y = 10 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{8}{x} — \frac{6}{y} — 1 = 0 \\ y = 10 — x \end{cases};$$ $$\frac{8}{x}-\frac{6}{10-x}-1=0\mathrm{\mid }\cdot x(10-x);$$

$$\frac{8}{x} — \frac{6}{10 — x} — 1 = 0 \quad | \cdot x(10 — x);$$ $$8(10-x)-6x-x(10-x)=0;$$

$$8(10 — x) — 6x — x(10 — x) = 0;$$ $$80-8x-6x-10x+x^2=0;$$

$$80 — 8x — 6x — 10x + x^2 = 0;$$ $$x^2 — 24x + 80 = 0;$$

$D = 24^2 — 4 \cdot 80 = 576 — 320 = 256 = 16^2$, тогда:

$$x_1 = \frac{24 — 16}{2} = 4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{24 + 16}{2} = 20;$$

4) Масса не может быть отрицательной:

$$x \neq 20, \quad \text{так как в этом случае } 10 — x < 0, \quad \text{значит } x = 4 \, (\text{кг});$$

Тогда $y = 10 — 4 = 6 \, (\text{кг})$;

5) Концентрация первого раствора:

$$\frac{0.8}{4} \cdot 100\% = \frac{80\%}{4} = 20\%;$$

6) Концентрация второго раствора:

$$\frac{0.6}{6} \cdot 100\% = \frac{60\%}{6} = 10\%;$$

Ответ: $4 \, \text{кг}$ и $20\%$ для первого раствора; $6 \, \text{кг}$ и $10\%$ — для второго.

Пусть $x \, \text{кг}$ — масса первого раствора, а $y \, \text{кг}$ — масса второго раствора. Тогда:

$\frac{0.8}{x} \cdot 100\%$ — это концентрация первого раствора, так как масса вещества в первом растворе составляет $0.8$ от его массы, и мы умножаем на $100\%$, чтобы получить результат в процентах.

$\frac{0.6}{y} \cdot 100\%$ — это концентрация второго раствора, где масса вещества составляет $0.6$ от массы второго раствора, и результат также выражен в процентах.

После смешивания получилось $10 \, \text{кг}$ нового раствора, значит:

$$x + y = 10.$$

Это выражение показывает, что общая масса смеси равна $10 \, \text{кг}$, так как $x$ — это масса первого раствора, а $y$ — масса второго раствора.

Концентрация первого раствора на $10\%$ больше концентрации второго раствора, что выражается следующим образом:

$$\frac{0.8}{x} \cdot 100 — \frac{0.6}{y} \cdot 100 = 10 \quad | \cdot 10.$$

Здесь мы умножаем обе части на 10, чтобы избавиться от процентов в уравнении.

После этого у нас получается система уравнений:

$$\begin{cases} \frac{8}{x} — \frac{6}{y} = 1 \\ x + y = 10 \end{cases}$$

Чтобы решить эту систему, подставим во второе уравнение $y = 10 — x$, что дает:

$$\frac{8}{x} — \frac{6}{10 — x} = 1.$$

Теперь умножим обе стороны на $x(10 — x)$, чтобы избавиться от дробей. Получаем:

$$\frac{8}{x} \cdot x(10 — x) — \frac{6}{10 — x} \cdot x(10 — x) = 1 \cdot x(10 — x);$$

После раскрытия скобок у нас получается:

$$8(10 — x) — 6x = x(10 — x);$$

Раскрываем все скобки:

$$80 — 8x — 6x = 10x — x^2.$$

Упрощаем и переносим все слагаемые в одну сторону:

$$x^2 — 24x + 80 = 0.$$

Рассчитаем дискриминант $D$ для уравнения $x^2 — 24x + 80 = 0$:

$$D = (-24)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 80 = 576 — 320 = 256.$$

Так как дискриминант является полным квадратом, находим корни уравнения с использованием формулы для нахождения корней квадратного уравнения:

$$x_1=\frac{-(-24)-\sqrt{256}}{2\cdot 1}=\frac{24-16}{2}=\frac{8}{2}=4,$$

$$x_1 = \frac{-(-24) — \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{24 — 16}{2} = \frac{8}{2} = 4,$$ $$x_2 = \frac{-(-24) + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{24 + 16}{2} = \frac{40}{2} = 20.$$

Масса не может быть отрицательной, так как это физический смысл задачи:

$$x \neq 20, \quad \text{так как в этом случае } 10 — x < 0, \quad \text{значит } x = 4 \, (\text{кг}).$$

Таким образом, масса первого раствора $x = 4 \, \text{кг}$, а масса второго раствора $y = 10 — 4 = 6 \, \text{кг}$.

Концентрация первого раствора:

$$\frac{0.8}{4} \cdot 100\% = \frac{80\%}{4} = 20\%.$$

Концентрация второго раствора:

$$\frac{0.6}{6} \cdot 100\% = \frac{60\%}{6} = 10\%.$$

Ответ: $4 \, \text{кг}$ и $20\%$ для первого раствора; $6 \, \text{кг}$ и $10\%$ — для второго.