ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 483 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Два катера вышли одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В, расстояние между которыми 150 км. Через 1 ч 30 мин катера встретились и, не останавливаясь, продолжили путь с той же скоростью. Первый катер прибыл в пункт В на 1 ч 15 мин позже, чем второй в пункт А. Сколько времени был в пути каждый катер?

Пусть $x$ км/ч — скорость первого катера и $y$ км/ч — скорость второго катера, тогда:

$\frac{150}{x}$ ч — время, за которое проходит весь путь первый катер;

$\frac{150}{y}$ ч — время, за которое проходит весь путь второй катер;

За 1 ч 30 мин $\left(\frac{3}{2}\,\text{часа}\right)$ они вместе прошли весь путь в 150 км, значит:

$\frac{3}{2}(x+y)=150 \Rightarrow x+y=100$;

Первый катер прибыл на 1 ч 15 мин $\left(\frac{5}{4}\,\text{часа}\right)$ позже, чем второй катер, значит:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{150}{x}-\frac{150}{y}=\frac{5}{4}\ \big|\ \cdot 5\\ x+y=100\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\frac{30}{x}-\frac{30}{y}-\frac{1}{4}=0\\ y=100-x\end{array}\right.;$

$\frac{30}{x}-\frac{30}{100-x}-\frac{1}{4}=0\ \big|\ \cdot 4x(100-x);$

$30\cdot 4(100-x)-30\cdot 4x-x(100-x)=0;$

$12000-120x-120x-100x+x^2=0;$

$D=340^2-4\cdot 12000=115600-48000=67600=260^2$, тогда:

$x_1=\frac{340-260}{2}=\frac{80}{2}=40$ и $x_2=\frac{340+260}{2}=\frac{600}{2}=300$;

Скорость не может быть отрицательной:

$x\ne 300$, так как в этом случае $100-x<0$, значит $x=40$ (км/ч);

Тогда $y=100-40=60$ (км/ч);

Время, которое провел в пути первый катер:

$\frac{150}{40}=\frac{15}{4}=3\frac{3}{4}\,\text{ч}=3\,\text{ч}\ 45\,\text{мин}$;

Время, которое провел в пути второй катер:

$\frac{150}{60}=\frac{15}{6}=2\frac{3}{6}\,\text{ч}=2\,\text{ч}\ 30\,\text{мин}$;

Ответ: 3 часа 45 минут; 2 часа 30 минут.

Пусть $x$ км/ч — скорость первого катера и $y$ км/ч — скорость второго катера, тогда:

$\frac{150}{x}$ ч — время, за которое проходит весь путь первый катер;

$\frac{150}{y}$ ч — время, за которое проходит весь путь второй катер.

За 1 ч 30 мин $\left(\frac{3}{2}\,\text{часа}\right)$ они вместе прошли весь путь в 150 км, значит:

$\frac{3}{2}(x+y)=150 \Rightarrow x+y=100$.

Первый катер прибыл на 1 ч 15 мин $\left(\frac{5}{4}\,\text{часа}\right)$ позже, чем второй катер, значит:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{150}{x}-\frac{150}{y}=\frac{5}{4}\ \big|\ \cdot 5 \\ x+y=100\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\frac{30}{x}-\frac{30}{y}-\frac{1}{4}=0 \\ y=100-x\end{array}\right.$.

Подставляем выражение $y=100-x$ в первое уравнение и получаем:

$\frac{30}{x}-\frac{30}{100-x}-\frac{1}{4}=0$.

Чтобы избавиться от знаменателей, умножаем всё уравнение на общий знаменатель $4x(100-x)$, что допустимо при $0<x<100$:

$\frac{30}{x}\cdot 4x(100-x)-\frac{30}{100-x}\cdot 4x(100-x)-\frac{1}{4}\cdot 4x(100-x)=0$.

В первом слагаемом $x$ сокращается, остаётся $30\cdot 4(100-x)=120(100-x)=12000-120x$.

Во втором слагаемом $(100-x)$ сокращается, остаётся $-30\cdot 4x=-120x$.

В третьем слагаемом $4$ сокращается, остаётся $-x(100-x)=-100x+x^2$.

Собираем все слагаемые:

$12000-120x-120x-100x+x^2=0$.

Приводим подобные:

$12000-340x+x^2=0$.

Получаем квадратное уравнение:

$x^2-340x+12000=0$.

Вычисляем дискриминант:

$D=(-340)^2-4\cdot 1\cdot 12000=340^2-48000=115600-48000=67600$.

Так как $67600=260^2$, получаем $\sqrt{D}=260$.

Находим корни уравнения по формуле:

$x_{1,2}=\frac{340\pm 260}{2}$.

Первый корень:

$x_1=\frac{340-260}{2}=\frac{80}{2}=40$.

Второй корень:

$x_2=\frac{340+260}{2}=\frac{600}{2}=300$.

Скорость катера не может быть равна $300$, так как при этом $y=100-x=100-300=-200<0$, что невозможно.

Значит, $x=40$ (км/ч).

Тогда $y=100-40=60$ (км/ч).

Время, которое провёл в пути первый катер:

$\frac{150}{40}=\frac{15}{4}=3\frac{3}{4}\,\text{ч}=3\,\text{ч}\ 45\,\text{мин}$.

Время, которое провёл в пути второй катер:

$\frac{150}{60}=\frac{15}{6}=2\frac{3}{6}\,\text{ч}=2\,\text{ч}\ 30\,\text{мин}$.

Ответ: 3 часа 45 минут; 2 часа 30 минут.