ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 482 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Расстояние между пунктами А и В равно 15 км. Два велосипедиста выехали из этих пунктов навстречу друг другу, встретились через 30 мин и, не останавливаясь, продолжили путь. Первый велосипедист прибыл в пункт В па 25 мин раньше, чем второй в пункт А. Найдите скорость каждого велосипедиста.

1) Пусть $x \, \text{км/ч}$ — скорость первого велосипедиста и $y \, \text{км/ч}$ — скорость второго велосипедиста, тогда:

$\frac{15}{x} \, \text{ч}$ — время, за которое проезжает весь путь первый велосипедист;

$\frac{15}{y} \, \text{ч}$ — время, за которое проезжает весь путь второй велосипедист;

3) За 30 мин $\left( \frac{1}{2} \, \text{часа} \right)$ они вместе прошли весь путь в $15 \, \text{км}$, значит:

$$\frac{1}{2}(x + y) = 15 \quad \Rightarrow \quad x + y = 30;$$

4) Первый велосипедист приехал на 25 мин $\left( \frac{5}{12} \, \text{часа} \right)$ раньше, чем второй велосипедист, значит:

$$\{\begin{array}{l}\frac{15}{y}-\frac{15}{x}=\frac{5}{12}\mathrm{\mid }\cdot 5\\ x+y=30\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\frac{3}{y}-\frac{3}{x}-\frac{1}{12}=0\\ y=30-x\end{array};$$

$$\begin{cases} \frac{15}{y} — \frac{15}{x} = \frac{5}{12} \quad | \cdot 5 \\ x + y = 30 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{3}{y} — \frac{3}{x} — \frac{1}{12} = 0 \\ y = 30 — x \end{cases};$$ $$\frac{3}{30-x}-\frac{3}{x}-\frac{1}{12}=0\mathrm{\mid }\cdot 12x(30-x);$$

$$\frac{3}{30 — x} — \frac{3}{x} — \frac{1}{12} = 0 \quad | \cdot 12x(30 — x);$$ $$3\cdot 12x-3\cdot 12(30-x)-x(30-x)=0;$$

$$3 \cdot 12x — 3 \cdot 12(30 — x) — x(30 — x) = 0;$$ $$36x-1080+36x-30x+x^2=0;$$

$$36x — 1080 + 36x — 30x + x^2 = 0;$$ $$x^2 + 42x — 1080 = 0;$$

$D = 42^2 + 4 \cdot 1080 = 1764 + 4320 = 6084 = 78^2$, тогда:

$$x_1 = \frac{-42 — 78}{2} = \frac{-120}{2} = -60 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-42 + 78}{2} = \frac{36}{2} = 18;$$

5) Скорость не может быть отрицательной:

$$x \neq -60, \quad \text{значит } x = 18 \, (\text{км/ч}), \quad \text{тогда } y = 30 — 18 = 12 \, (\text{км/ч});$$

Ответ: $18 \, \text{км/ч}$; $12 \, \text{км/ч}$.

Пусть скорость первого велосипедиста равна $x \, \text{км/ч}$, а скорость второго — $y \, \text{км/ч}$. Тогда:

$\frac{15}{x} \, \text{ч}$ — время, которое первый велосипедист тратит на прохождение всего пути. Это время вычисляется как $\frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}}$, где расстояние равно 15 км, а скорость первого велосипедиста — $x \, \text{км/ч}$.

$\frac{15}{y} \, \text{ч}$ — время, которое второй велосипедист тратит на прохождение всего пути, где расстояние — 15 км, а скорость второго велосипедиста — $y \, \text{км/ч}$.

За 30 минут $\left( \frac{1}{2} \, \text{часа} \right)$ они вместе прошли весь путь в $15 \, \text{км}$, что означает, что их совместная скорость за это время позволяет пройти $15 \, \text{км}$ за $\frac{1}{2} \, \text{часа}$, или 30 минут. Следовательно, совместная скорость велосипедистов в сумме составляет $30 \, \text{км/ч}$, так как за 1 минуту они проходят $\frac{1}{2}$ от 15 км:

$$\frac{1}{2}(x + y) = 15 \quad \Rightarrow \quad x + y = 30.$$

Первый велосипедист приехал на 25 минут $\left( \frac{5}{12} \, \text{часа} \right)$ раньше, чем второй велосипедист, что означает, что разница во времени между их прибытием составляет $\frac{5}{12} \, \text{часа}$. Это выражается как разница в затраченном времени для первого и второго велосипедиста:

$$\frac{15}{y} — \frac{15}{x} = \frac{5}{12}.$$

Таким образом, создается система из двух уравнений:

$$\begin{cases} \frac{15}{y} — \frac{15}{x} = \frac{5}{12} \quad | \cdot 5 \\ x + y = 30 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{3}{y} — \frac{3}{x} — \frac{1}{12} = 0 \\ y = 30 — x \end{cases};$$

Мы заменили $\frac{15}{y}$ на $\frac{3}{y}$ и $\frac{15}{x}$ на $\frac{3}{x}$, чтобы упростить уравнения.

Подставим $y = 30 — x$ в первое уравнение:

$$\frac{3}{30 — x} — \frac{3}{x} — \frac{1}{12} = 0 \quad | \cdot 12x(30 — x);$$

Умножаем обе части уравнения на $12x(30 — x)$ для устранения дробей.

Раскрываем скобки и упрощаем:

$$3 \cdot 12x — 3 \cdot 12(30 — x) — x(30 — x) = 0;$$

Теперь раскрываем скобки:

$$36x — 1080 + 36x — 30x + x^2 = 0;$$

И приводим подобные слагаемые:

$$2x^2-140x+2400=0\mathrm{\mid }:2;$$

$$2x^2 — 140x + 2400 = 0 \quad | : 2;$$ $$x^2 — 70x + 1200 = 0;$$

Рассчитаем дискриминант $D$ для уравнения $x^2 — 70x + 1200 = 0$:

$$D = (-70)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1200 = 4900 — 4800 = 100.$$

Дискриминант равен 100, что является полным квадратом, и мы можем найти корни этого уравнения с помощью формулы:

$$x_1=\frac{-(-70)-\sqrt{100}}{2\cdot 1}=\frac{70-10}{2}=\frac{60}{2}=30,$$

$$x_1 = \frac{-(-70) — \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{70 — 10}{2} = \frac{60}{2} = 30,$$ $$x_2 = \frac{-(-70) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{70 + 10}{2} = \frac{80}{2} = 40.$$

Теперь находим соответствующие значения $y$ для каждого из найденных значений $x$. Из уравнения $x + y = 30$ подставляем значения $x_1 = 30$ и $x_2 = 40$:

Для $x_1 = 30$:

$$y_1 = 30 — 30 = 0.$$

Для $x_2 = 40$:

$$y_2 = 30 — 40 = -10.$$

Ответ: за 30 минут первый и 60 минут второй или за 40 минут каждый.