ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 481 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Дорога от дома до школы состоит из двух участков: 300 м подъёма и 600 м спуска. Дорога от дома до школы занимает у Дениса 16 мин, а обратная дорога — 17 мин. Определите скорость Дениса на подъёме и на спуске.

1. Пусть скорость Дениса на подъеме равна $x$ м/мин, а скорость на спуске — $y$ м/мин, тогда:

• $\frac{300}{x}$ мин— время, которое он поднимается по дороге в школу;
• $\frac{600}{y}$ мин — время, которое он спускается по дороге в школу;
• $\frac{600}{x}$ мин — время, которое он поднимается по дороге домой;
• $\frac{300}{y}$ мин — время, которое он спускается по дороге домой;

2. Составим и решим систему уравнений:

$\{\begin{array}{l}\frac{300}{x}+\frac{600}{y}=16\\ \frac{600}{x}+\frac{300}{y}=17\end{array}$

3. Пусть $a=\frac{1}{x}$ и $b=\frac{1}{y}$, тогда:

$\{\begin{array}{l}300a+600b=16\\ 600a+300b=17\end{array}$

Умножим первое уравнение на 2:

$\{\begin{array}{l}600a+1200b=32\\ 600a+300b=17\end{array}$

Вычтем второе из первого:

$(600a+1200b)-(600a+300b)=32-\mathrm{17 }$

$$\begin{gathered} \mathrm{} \\ 900b=15⟹b=\frac{15}{900}=\frac{1}{60} \end{gathered}$$

Подставим значение $b$ во второе уравнение:

$300a+600b=16$

$300a+600\cdot \frac{1}{60}=16$

$300a+10=16$

$300a=6⟹a=\frac{6}{300}=\frac{1}{50}$

4. Вернём замену:

$a=\frac{1}{x}=\frac{1}{50}⟹x=50\text{(м/мин),}$ $b=\frac{1}{y}=\frac{1}{60}⟹y=60\text{ (м/мин)}$

1. Обозначения и условия задачи
Пусть:

( x ) — скорость Дениса на подъёме (м/мин)
( y ) — скорость Дениса на спуске (м/мин)

Денис идёт в школу и обратно, при этом часть пути он идёт в гору, часть — с горы. Пути туда и обратно по длине одинаковы, но участки подъёма и спуска меняются местами.
Время в пути:
В школу:

Подъём: $300$ м — $\frac{300}{x}$ минут

Спуск: $600$ м — $\frac{600}{y}$ минут

Домой:

Подъём: $600$ м — $\frac{600}{x}$ минут

Спуск: $300$ м — $\frac{300}{y}$ минут

2. Составляем систему уравнений

По условию (на изображении):

Вся дорога в школу заняла 16 минут:

$\frac{300}{x}+\frac{600}{y}=16$

Вся дорога домой заняла 17 минут:

$\frac{600}{x}+\frac{300}{y}=17$

3. Замена переменных

Чтобы упростить систему, введём новые переменные:

$a=\frac{1}{x}$

$b=\frac{1}{y}$

Тогда:

$\frac{300}{x}=300a$

$\frac{600}{y}=600b$

$\frac{600}{x}=600a$

$\frac{300}{y}=300b$

Подставляем в систему:

$\{\begin{array}{l}300a+600b=16\\ 600a+300b=17\end{array}$

4. Решаем систему уравнений

Шаг 1:
Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $a$ совпали:

$300a+600b=16\Rightarrow 600a+1200b=32$

Теперь система: $\{\begin{array}{l}600a+1200b=32\\ 600a+300b=17\end{array}$

Шаг 2:
Вычтем второе уравнение из первого:

$(600a+1200b)-(600a+300b)=32-17$

$(600a-600a)+(1200b-300b)=15$

$900b=15$

$b=\frac{15}{900}=\frac{1}{60}$

Шаг 3:
Найдём $a$, подставив $b$ в одно из уравнений, например, в первое:

$300a+600b=16$

$300a+600\cdot \frac{1}{60}=16$

$300a+10=16$

$300a=6$

$a=\frac{6}{300}=\frac{1}{50}$

5. Возвращаемся к исходным переменным

• $a=\frac{1}{x}=\frac{1}{50}⟹x=50$(м/мин)
• $b=\frac{1}{y}=\frac{1}{60}⟹y=60$(м/мин)

6. Ответ

Скорость Дениса на подъёме:
$x=50\text{ м/мин}$

Скорость Дениса на спуске:
$y=60\text{ м/мин}$