ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 480 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Пароход прошёл 100 км по течению реки и 64 км против течения за 9 ч. В другой раз за это же время он прошёл 80 км против течения и вернулся обратно. Определите скорость парохода в стоячей воде и скорость течения.

1) Пусть $x\text{км/ч}$ — скорость парохода в стоячей воде и $y\text{км/ч}$ — скорость течения реки, тогда:

$x+y\text{км/ч}$ — скорость парохода по течению;

$x-y\text{км/ч}$ — скорость парохода против течения;

$\frac{100}{x+y}\text{ч}$ — плыл пароход по течению в первый раз;

$\frac{64}{x-y}\text{ч}$ — плыл пароход по течению во второй раз;

$\frac{80}{x+y}\text{ч}$ — плыл пароход по течению во второй раз;

$\frac{80}{x-y}\text{ч}$ — плыл пароход против течения во второй раз;

2) Составим и решим систему уравнений:

$$\{\begin{array}{l}\frac{100}{x+y}+\frac{64}{x-y}=9\\ \frac{80}{x+y}+\frac{80}{x-y}=9\end{array};$$

3) Пусть $a=\frac{1}{x+y}$ и $b=\frac{1}{x-y}$, тогда:

$$\{\begin{array}{l}100a+64b=9\mathrm{\mid }\cdot 4\\ 80a+80b=9\mathrm{\mid }\cdot 5\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}400a+256b=36\\ 400a+400b=45\end{array};$$

$$$$$$400a-400a+256b-400b=36-45;$$

$$$$$$-144b=-9,\text{отсюда }b=\frac{9}{144}=\frac{1}{16};$$

$$$$$$80a+80b=9,\text{отсюда }a=\frac{9}{80}-b=\frac{9}{80}-\frac{1}{16}=\frac{9-5}{80}=\frac{4}{80}=\frac{1}{20};$$

4) Вернем замену:

$$\frac{1}{x+y}=\frac{1}{20},\text{отсюда }x+y=20;$$$$\frac{1}{x-y}=\frac{1}{16},\text{отсюда }x-y=16;$$

5) Найдем значения аргументов:

$$\{\begin{array}{l}x+y=20\\ x-y=16\end{array}\Rightarrow \begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle x+x+y-y=20+16;}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle 2x=36,\text{отсюда }x=18(\text{км/ч});}\end{array}$$$$x+y=20,\text{отсюда }y=20-x=20-18=2(\text{км/ч});$$

Ответ: скорость парохода $18\text{км/ч}$; скорость течения реки $2\text{км/ч}$.

Пусть $x$ км/ч — скорость парохода в стоячей воде и $y$ км/ч — скорость течения реки. Тогда при движении по течению собственная скорость парохода и скорость течения складываются, потому фактическая скорость вдоль берега равна $x+y$ км/ч; при движении против течения скорость течения вычитается из собственной скорости парохода, потому фактическая скорость равна $x-y$ км/ч. Время движения на каждом участке находится по формуле пути как отношение пути к скорости, то есть $t=\frac{s}{v}$. Если на первом маршруте по течению проплыто $100$ км, то время этого участка равно $\frac{100}{x+y}$ ч, поскольку делим длину пути $100$ км на фактическую скорость по течению $x+y$ км/ч. Если против течения пройдено $64$ км, то время этого участка равно $\frac{64}{x-y}$ ч, так как делим путь $64$ км на фактическую скорость против течения $x-y$ км/ч. Далее, если по течению пройдено $80$ км, время этого участка равно $\frac{80}{x+y}$ ч; если против течения пройдено $80$ км, время равно $\frac{80}{x-y}$ ч. По условию суммарное время в каждой из двух ситуаций составляет $9$ ч: первый раз сумма времени по течению на $100$ км и против течения на $64$ км равна $9$ ч, второй раз сумма времени по течению на $80$ км и против течения на $80$ км равна $9$ ч. Из физических соображений скорости и их комбинации положительны и удовлетворяют $x>0$, $y>0$, $x>y$, чтобы знаменатели $(x+y)$ и $(x-y)$ были положительны и имели смысл в выражениях для времени.

Составим и решим систему уравнений, отражающую равенство сумм времен $9$ ч в каждой ситуации, используя факт, что время равно путь, делённый на скорость: $\left\{\frac{100}{x+y}+\frac{64}{x-y}=9,\;\frac{80}{x+y}+\frac{80}{x-y}=9\right\}$. Первое уравнение описывает сумму $\frac{100}{x+y}$ ч по течению и $\frac{64}{x-y}$ ч против течения, дающую $9$ ч; второе уравнение аналогично описывает $\frac{80}{x+y}$ ч по течению и $\frac{80}{x-y}$ ч против течения, также дающие $9$ ч. Такая форма уравнений удобна для алгебраического решения после линеаризации заменой переменных, поскольку дробно-рациональная структура одинакового вида.

Пусть $a=\frac{1}{x+y}$ и $b=\frac{1}{x-y}$. Такая замена сводит исходную систему с дробями к линейной системе по $a$ и $b$, потому что $\frac{100}{x+y}=100a$, $\frac{64}{x-y}=64b$, $\frac{80}{x+y}=80a$, $\frac{80}{x-y}=80b$. Подстановка даёт линейную систему $\left\{100a+64b=9,\;80a+80b=9\right\}$. Для исключения одной переменной удобно уравнять коэффициенты при $a$ или $b$. Умножим первое уравнение на $4$, чтобы коэффициент при $a$ стал $400$, и второе уравнение на $5$, чтобы коэффициент при $a$ также стал $400$. Получаем эквивалентную систему $\left\{400a+256b=36,\;400a+400b=45\right\}$, где правые части получены умножением $9\cdot 4=36$ и $9\cdot 5=45$. Вычтем из второго уравнения первое, чтобы исключить $a$: $(400a+400b)-(400a+256b)=45-36$. Левые части упрощаются по компонентам: члены $400a$ сокращаются, остаётся $400b-256b=144b$; правая часть равна $9$. Следовательно, $144b=9$. Делим обе части на $144$, получаем $b=\frac{9}{144}$. Сокращаем дробь на общий делитель $9$: $\frac{9}{144}=\frac{1}{16}$. Теперь найдём $a$. Подставим $b=\frac{1}{16}$ во второе уравнение $80a+80b=9$. Тогда $80a+80\cdot\frac{1}{16}=9$. Вычислим второе слагаемое: $80\cdot\frac{1}{16}=\frac{80}{16}=5$. Получаем линейное уравнение $80a+5=9$. Переносим $5$ в правую часть: $80a=9-5=4$. Делим на $80$: $a=\frac{4}{80}$. Сокращаем дробь на $4$: $\frac{4}{80}=\frac{1}{20}$. Для проверки можно использовать первое уравнение $100a+64b=9$: $100\cdot\frac{1}{20}+64\cdot\frac{1}{16}=5+4=9$, что подтверждает корректность найденных $a$ и $b$.

Вернёмся к исходным переменным, используя обратные соотношения определений $a$ и $b$. Так как $a=\frac{1}{x+y}$, равенство $a=\frac{1}{20}$ эквивалентно равенству $\frac{1}{x+y}=\frac{1}{20}$. Для положительных величин обратные равны тогда и только тогда, когда равны сами величины, следовательно, $x+y=20$. Аналогично, так как $b=\frac{1}{x-y}$ и $b=\frac{1}{16}$, имеем $\frac{1}{x-y}=\frac{1}{16}$, откуда при $x>y>0$ следует $x-y=16$. Эти два линейных уравнения образуют простую систему для нахождения $x$ и $y$.

Найдём значения аргументов из системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными $\left\{x+y=20,\;x-y=16\right\}$. Сложим уравнения почленно, чтобы исключить $y$: складывая левые части, получаем $x+y+x-y=2x$, складывая правые части, получаем $20+16=36$. Следовательно, $2x=36$. Делим обе части равенства на $2$: $x=18$ км/ч. Теперь найдём $y$ из любого из уравнений, например из $x+y=20$. Подставляем найденное $x=18$: $18+y=20$. Вычитаем $18$ из обеих частей: $y=20-18=2$ км/ч. Проверка согласованности с ограничениями даёт $x=18>0$, $y=2>0$, $x>y$, что корректно. Дополнительная проверка подстановкой в исходные суммарные времена подтверждает решение: $\frac{100}{x+y}+\frac{64}{x-y}=\frac{100}{20}+\frac{64}{16}=5+4=9$ ч и $\frac{80}{x+y}+\frac{80}{x-y}=\frac{80}{20}+\frac{80}{16}=4+5=9$ ч; обе суммы равны $9$ ч, как требуется условием. Числовые величины интерпретируются физически: собственная скорость парохода в стоячей воде $18$ км/ч, скорость течения $2$ км/ч, причём эффективные скорости вдоль русла реки равны $x+y=20$ км/ч по течению и $x-y=16$ км/ч против течения, что согласуется с вычислениями времени на участках.

Ответ: скорость парохода $18$ км/ч; скорость течения реки $2$ км/ч.